جوابم رو با استفاده از کد پاسکالی که توی صفحه بعد سول اومده توضیح میدم، که نسبتا واضح تره نسبت به شبه کد. الگوریتم در واقع برای تعیین $a_k$ میاد اول اون رو برابر $a_{k-1} + 1$ قرار میده(به خاطر این که اول حلقه رو اجرا می کنه و بعد شرط رو چک می کنه حتما یه بار $a_k$ رو به علاوه یک می کنه. حالا میاد چک می کنه که آیا اندیس های $i$ و $j$ با شرط $j < i < k$ وجود دارن که $a_k = 2 * a_i - a_j$. حالا دو حالت وجود داره:

• این اندیس ها وجود دارن: مقدار $َa_k$ همین مقدار فعلیش میمونه و به سراغ تعیین مقدار $a_{k+1}$ می رویم.
• این اندیس ها وجود ندارن: مقدار $a_k$ یک واحد زیاد میشه و دوباره شرط چک میشه. این کار اونقدر تکرار میشه تا بالاخره اندیس ها رو پیدا کنیم و مقدار $a_k$ حساب بشه.

میشه با استقرا ثابت کرد که به ازای هر $k$ مقدار $َa_k$ برابر $k$ خواهد بود. برای پایه $0$ و $1$ رو در نظر می گیریم، بدیهیه که حکم برقراره. حالا فرض می کنیم که $a_0 = 0$، $a_1 = 1$ و ... $a_{k-1} = k - 1$. اول مقدار $a_k$ مساوی $k$ قرار میگیره. ثابت می کنیم که همینجا اندیس هایی که می خواستیم وجود دارن و $a_k$ دیگه زیاد نمیشه. حالا دو حالت وجود داره:

• $k$ زوجه: اندیس $i$ رو برابر $\frac k2$ و $j$ رو برابر $0$ قرار میدیم. واضحه که الگوریتم این اندیس ها رو هم چک می کنه. با توجه به فرض استقرا میدونیم که $2 * a_{\frac k2} - a_0 = k$، در نتیجه شرط متوقف کننده حلقه برقرار میشه و $a_k$ دیگه زیاد نمیشه و برابر $k$ میمونه.
• $k$ فرده: اندیس $i$ رو برابر $\frac{k+1}{2}$ و $j$ رو برابر $1$ قرار میدیم. باز هم به راحتی میتونیم ثابت کنیم که شرط متوقف کننده حلقه برقرار میشه و مقدار $a_k$ مساوی $k$ میمونه.

پس ثابت شد که به ازای تمامی $k$ ها، چه زوج و چه فرد، $a_k = k$. الگوریتم تا $k = 1374$ رو مقدار میده. با این اطلاعات جواب سوال ها کاملا مشخصه:

• الف) $0$ تا $10$
• ب) $i$ های بخش پذیر بر 3 کوچک تر مساوی $1374$. یعنی $0$، $3$ و ... $1374$
• ج) $i$