سوال جای گشت ها:
جواب میشه n! (ینی کل جای گشت ها رو میشه ساخت!)
عمل شیفت دوتایی رو شبیه سازی کن(ینی طی این عمل, دو تا از سمت راست آرایه جدا بشه و با همون ترتیب بره اولش) بعد حالا دو تا راه حل داره! یه راه یکی گفت میشه با این سه تا عمل یجوری جابجا کردن دو تا عضو رو شبیه سازی کرد, راه خودمم اینه که استقرا بزن اینجوری که ۱ رو ببر اول جای گشت و n رو ببر تهش, بعد اول و آخر جایگشت رو حذف کن و اون دو تا عمل صورت سوال رو برای بقیه ی جای گشت شبیه سازی کن! شبیه سازیشون یکم طولانیه ولی بنویسی در میاد!

سوال سیاره ی آلفا:
یادمه یه استقرا ی کثیف میزدی حل میشد!

سوال تحول و تطور:
الف) دو تا راه کاملن مختلف:
۱) (با تشکر از @طوفان که این راهو گفت‌!) ناوردایی بزن, به ازای هر b سه به توان تعداد a های سمت چپش رو بنویس بعد همه ی اعداد رو جمع کن. این عدده بعد از هر تحول کم میشه.

2)در طی مراحل, تعداد a ها عوش نمیشه. برهان خلف میزنیم: اگه کلمه ای باشه که بشه بینهایت بار متحولش کرد, حتمن توش یسری a داریم که بینهایت بار در عمل تحول شرکت میکنن. بین اینا, اونیو بگیر که اول کاری سمت راست ترینه. چون در حین تحول ها جای a ها با هم عوض نمیشه, و اینکه هر بار که یه a در تحول شرکت میکنه یدونه میره راست, این a که ما انتخاب کردیم بعد از تعداد محدودی بار میرسه سمت راست کلمه (چون سمت راستش تعداد محدودی تحول صورت خواهد گرفت پس بعد از صورت گرفتن همه ی اونا, طول کلمه ی سمت راست این بیشتر نخواهد شد!) و این ینی نمیتونه نامحدود بار متحول بشه!
ب) (باز با تشکر از @طوفان) ثابت کن abb با تعداد محدودی تطول متوقف نمیشه!

سوال انتقال مهره ها:

اگه عکس رو جای دیگه باز کنید درست میادا... نمیدونم اینجا چرا چپس!
اون آخرای عکسه یه ۴ هست که باید ۵ باشه ولی نیست! اونو ۵ کنین. (خیلی واضحه... نوشتم ۸و ۷و ۶و ۴! اون ۵ـه!) شکلاش درسته ها, عدد های نهایی هم درستن, فقط یسری چیزو جمع کردم که یکیش یدونه کمه!

بقیه سوالا رو هم که دوستان جواب دادن!

هرجا نیاز به توضیح بیشتر بود بپرسین! $^_^$

برای اعداد نحس:همه ی زیر رشته به طول k رو در نظر بگیر که k بزرگتر از طول بزرگترین عدده ،یکی هست که تکرار شده فرض کن که این رشته برابر با s باشه فرکن بین اولین بار ظاهر شدن s و دومین بار رشته t ظاهر شده باشه به رشته از دو طرف اینطوری می سازیم : ......ststst...... چون t با اول و آخر s هیچ کدوم از اعداد رو نمیسازند پس هیچ وقت تو این دنباله هم اعداد ظاهر نمی شن

برای سوال سه تایی پایدار:یه دوگانه شماری بزن:یه جدول بکش هر سطر یکی از مجموعه ها و هر ستون یکی از n/3 تا از عضو از n عضو باشه و تو (i,j) یک بزار اگر که به ازای رنگ کردن n/3 تایی j ام مجموعه ی i حداقل 1 عضوش رنگ نشده باشه بایه حساب کتاب در میاد که یه ستون n تا 1 داره (نمی تونم محاسبات رو بزارم)

سوال مستطیل های سیاه: برای هر خونه زیر مستطیل هایی رو می شماریم که خونه ی پایین راستش این خونه باشه هر خونه سفید هیچ مستطیلی نمی سازه حالا یه خونه که سیاهه و بیش از یه مستطیل داره رو در نظر بگیر مستطیل ها رو بر حسب ارتفاعشون سورت کن و حالا هر بار مستطیل i و i+1 امی رو در نظر بگیر بالا چپ ترین خونه ای که تو هر دوتا ی اینا هست رو در نظر بگیر خونه ی بالا چپ اون سفیده پس به ازای هر خونه که i تا مستطیل داره i-1 خونه سفید هست در ضمن هر خونه ی سفید رو یک بار شمردیم. پس حداکثر mn تا مستطیل داریم (خیلی مختصر توضیح دادم ببخشید)

برای مهره اگه 1 1 1 هم بذاریم باید 2 تا از ۱ ها تغییر کنن بدون توجه به ترتیب تغییر ها بعد از چند مرحله به ۸ ۸ ۸ میرسیم باز هم شبیه حالت اوله فقط با اعداد بزرگتر پس فرآیند پایان ناپذیره

»رای مهره ها هم ثابت ترتیب اعمال تاثیری نداره بعد 5 تا مهره هم شماره در نظر بگیر ثابت کن 5 تا دیگه هم شماره تولید میشه .