۱. برای حل قسمت اول با توجه به اینکه $\Delta$ یک عدد نزدیک به $10^4$ است، کافی است تابع $f$ را شبیه‌سازی کنیم و با استفاده از دو حلقه تابع $g$ را محاسبه کنیم.

برای دو قسمت بعدی لازم است تابع $f$ را ساده‌سازی کنیم.

اول بررسی می‌کنیم تابع بازگشتی $f$ چه چیزی را محاسبه می‌کند.

این تابع مقادیر $x$ و $y$ را می‌گیرد و تا وقتی $y$ صفر نشده است، آن را بر دو تقسیم می‌کند. در هر مرحله اگر $y$ زوج بود حاصل را در ۲ و اگر $y$ فرد بود حاصل را در ۳ ضرب می‌کند. در انتها وقتی $y$ صفر شد، حاصل را در $x$ ضرب می‌کند.

بنابراین اگر تعداد بیت‌های یک در نمایش باینری y را $y_1$ بنامیم و تعداد بیت‌های صفر را $y_0$ بنامیم، خروجی تابع $f(x,y)$ برابر است با: $x \times 2 ^ {y_0} \times 3^{y_1}$

حالا با جاگذاری مقدار صریحی که برای $f$ بدست آوردیم، تابع $g$ را ساده‌تر می‌کنیم:

$$g(n) = \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}f(i,j) = \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1} i \times 2 ^ {j_0} \times 3 ^ {j_1} = \sum_{i=1}^{n-1}i \times \sum_{j=1}^{n-1}2^{j_0} \times 3 ^ {j_1}$$

سیگمای اولی برابر حاصل جمع اعداد ۱ تا $n - 1$ هست که برابر است با $n(n-1)/2$.

۲. در زیر مساله‌ی دوم چون $\Delta^2$ نزدیک به $10^8$ است، برای محاسبه‌ی سیگمای دومی می‌توانیم با یک for مقدار آن را حساب کنیم.

۳. در زیر مساله‌ی سوم $\Delta$ یک عدد ۱۰۰۰۰ بیتی است و نمی‌توان با یک for سیگمای دوم را حساب کرد. در این زیر مساله باید به روش کارآمدتری سیگمای دوم را حساب کنیم. یک روش این است:

روی اینکه عدد $j$ چند بیت صفر و چند بیت یک دارد حالت بندی می‌کنیم و سپس تعداد اعدادی که چنین خاصیتی دارند را می‌شماریم. مثلا اگر عدد $j$ $a$تا بیت یک داشته باشد و $b$تا بیت صفر داشته باشد، تعداد اعداد با این خاصیت برابر است با ${a + b -1 \choose b}$.

چون به ازای هر یک از این اعداد مقدار $2^b \times 3^a$ در سیگمای دوم ظاهر می‌شود، کافی است برای محسابه‌ی سیگمای دوم به ازای همه‌ی $a$ و $b$هایی که $a+b \le 100$ مقدار عبارت ${a + b -1 \choose b} \times 2^b \times 3^a$ را محسابه کنیم و مجموع آنها را بیابیم.

ایشالا به زودی کدش رو هم می‌ذارم.