ابتدا $m_i$ ها را برای هر $1\leq i \leq 2n$ به شکل زیر تعریف می کنیم (واضح است که دقیقا یک $m_i$ با این خواص وجود دارد): $$1\leq m_i\leq 2n$$ $$m_i\neq i$$ $$i\equiv m_i \pmod n$$ حالا فرض می کنیم $n$ زوج باشد. برای هر $1\leq i\leq 2n$، $i$ و $m_i$ را در یک دسته قرار می دهیم پس اگر مجموع اعداد انتخاب شده را $S$ در نظر بگیریم بدست می آید: $$ S\equiv 1+2+\cdots+n\equiv \frac{n}{2}\not\equiv 0\pmod n $$ پس $S$ نمی تواند بر $2n$ هم بخشپذیر باشد. حالا فرض می کنیم $n$ فرد باشد و اعداد به طور دلخواه در دسته های دو تایی قرار گرفته باشند. ابتدا حالتی را بررسی می کنیم که برای هر دو عدد مانند $i$ و $j$ که در یک دسته قرار دارند $i\not\equiv j\pmod n$. یکی از دسته ها مانند $(i,j)$ را در نظر می گیریم. اگر از این دسته $i$ ($j$) را انتخاب کردیم از دسته ای که $m_j$ ($m_i$) در آن قرار دارد $m_j$ ($m_i$) را انتخاب می کنیم و همین گونه ادامه می دهیم. حالا ثابت می کنیم این کار تا انتخاب شدن یک عدد از هر دسته ادامه دارد. اگر به مرحله ای برسیم که از دسته ی $(k,l)$ هیچ کدام را نتوانیم انتخاب کنیم این به این معنی است که در مراحل قبل $m_k$ و $m_l$ انتخاب شده اند اما در مرحله ی قبل از انتخاب $m_k$ باید عددی که با $m_{m_k}$ در یک دسته قرار دارد انتخاب شده باشد و واضح است که $m_{m_k}=k$ یعنی عدد $l$ باید انتخاب شده باشد که تناقض است پس چنین چیزی اتفاق نمی افتد حالتی که هر دو عضو یک دسته انتخاب شده باشند نیز به طور مشابه رد می شود پس می توانیم اعداد را طوری انتخاب کنیم که اعداد انتخاب شده یک دستگاه کامل مانده ها به پیمانه ی $n$ را تشکیل دهند و با توجه به اینکه برای انتخاب عدد اول دو حالت وجود دارد پس این کار نیز به دو طریق قابل انجام است حالا دقت کنید که مجموع کل اعداد فرد است که نتیجه می دهد در یکی از حالات انتخاب اعداد به طریق گفته شده مجموع اعداد زوج می شود اگر این مجموع را $S$ بنامیم بدست می آید: $$ S\equiv 1+2+\cdots+n\equiv n\cdot\frac{n+1}{2}\equiv 0\pmod n $$ $$ S\equiv 0\pmod 2 $$ حال از آنجایی که $\gcd(n,2)=1$ داریم: $$ S\equiv 0\pmod {2n} $$ و چیزی که می خواستیم ثابت می شود. حالا حالتی را بررسی می کنیم که دو عدد مانند $i$ و $j$ که در یک دسته قرار دارند وجود داشته باشند که $i\equiv j\pmod n$. کافی است چنین زوج هایی را کنار بگذاریم و زوج های باقی مانده را مانند حالت قبل انتخاب کنیم حالا چون $i\not\equiv m_i\pmod 2$ می توانیم اعدادی را که در ابتدا کنار گذاشته بودیم را طوری انتخاب کنیم که حاصل زوج شود و مانند حالت قبل حکم را نتیجه بگیریم.