اگر فاصله های زوج نقاط بتونه مقادیر یکسان داشته باشه میشه راحت $n-1$ زوج غیر عادی گذاشت (نمیدونم بیشتر از این هم میشه یا خیر). کافیه طبق شکل زیر از نقطه فرضی $a$ یک دایره به شعاع دلخواه (مثل $d$) بزنیم و بعد همه نقاط دیگر رو در کمان کوچکی از اون دایره (کمان کمتر از ۶۰ درجه) قرار بدیم. در این صورت فاصله تمامی نقاطی که روی کمان دایره قرار گرفتند از $d$ کمتر خواهد بود، پس $a$ دورترین نقطه برای هر کدام از اونها محسوب میشه، و از طرفی هر کدام از اونها هم برای $a$ نردیک ترین نقطه محسوب میشن (چون فاصله همه نقاط با $a$ برابر $d$ هست). پس $a$ با هر یک از $n-1$ نقطه دیگه یک زوج غیرعادی تشکیل میده.

اما در حالتی که فواصل بین زوج نقاط همگی اعدادی متفاوت باشند، حداکثر یک زوج غیرعادی خواهیم داشت. برای اثبات این موضوع یک زوج غیرعادی مثل $(a,b)$ که فاصله $d$ دارند رو در نظر بگیرید و طبق شکل زیر به مرکز $a$ و $b$ دو دایره به شعاع $d$ رسم کنید. چون $b$ نزدیک ترین نقطه به $a$ هست پس هیچ نقطه ای داخل دایره به مرکز $a$ نمی افته. چون $a$ دورترین نقطه به $b$ هست پس همه نقاط دیگه داخل دایره به مرکز $b$ می افتند. لذا همه نقاط مجبورند (میفهمین؟ مجبورند!) داخل محوطه قرمز رنگ شکل زیر قرار بگیرند.

فرض کنیم یک زوج غیر عادی دیگه هم مثل $(x,y)$ وجود داشته باشه که $y$ نزدیک ترین نقطه به $x$ باشه و $x$ دورترین نقطه به $y$ (ممکنه یکی از $x$ یا $y$ برابر $a$ یا $b$ هم باشند). اگر فاصله زوج جدید رو $e$ در نظر بگیریم دو حالت داریم (قبلا یاد آوری میکنم که $e$ نمیتونه مساوی $d$ باشه چون قرار شد فواصل زوج نقاط همگی متفاوت باشند):

• $e>d$: در این صورت فاصله نزدیک ترین نقطه به $x$ بیشتر از $d$ بوده که این غیر ممکن هست. چون فاصله $b$ به کل نقاط محوطه قرمز کمتر از $d$ هست و نزدیک ترین نقطه به خود $a$ و $b$ هم نمیتونه فاصله بیشتر از $d$ داشته باشه.
• $d>e$: در این صورت فاصله دورترین نقطه به $y$ کمتر از $d$ هست که باز هم ممکن نیست. چون فاصله $a$ از کل نقاط محوطه قرمز بیشتر از $d$ هست، و دورترین نقطه از خود $a$ و $b$ هم نمیتونه فاصله کمتر از $d$ داشته باشه.

یک جفت با فرض این‌که فواصل نمی‌تونن یک‌سان باشند.

فرض کنید هم a و b یک جفت غیر عادی باشند، هم c و d. آنگاه: (منظور از $ij$ فاصله‌ی i تا j است.)

$ab < ad$

$bc < ab$

پس $bc < ad$

$cd < bc$

$ad < cd$

پس $ad < bc$

که با نتیجه‌ی قبلی در تناقض است، پس حداکثر یک جفت نقطه‌ی غیرعادی داریم.

دو تا نقطه میشه . اول میایم تمامی دوایر رو به مرکز نقطه a و به شعاع فواصل میزنیم و با این کارا حل میشه