ادعا می‌کنیم پاسخ مسئله برابر 99 است. برای اثبات این ادعا دو گام داریم:

یک. ابتدا ثابت می‌کنیم با 99 حرکت همواره می‌توان تعداد برنج و تخم‌مرغ سبدها را برابر کرد:

از استقرا استفاده می‌کنیم. فرض کنید $n$ سبد داریم که مجموعا در آن‌ها $10n$ کیلو برنج و $30n$ تخم‌مرغ قرار دارد. ثابت می‌کنیم با $n-1$ حرکت می‌توان تعدا برنج و تخم‌مرغ $n$ سبد را یکسان کرد.

پایه‌ی استقرا: به ازای $n=1$ حکم درست است. چرا که یک سبد داریم که در آن 10 کیلو برنج و 30 عدد تخم‌مرغ وجود دارد و در واقع با $n-1=0$ حرکت این کار را انجام دادیم.

گام استقرا: فرض کنید که به ازای $n-1$ سبد حکم مسئله درست بوده است. به ازای $n$ سبد حکم سوال را اثبات می‌کنیم. دو سبد که اولی حداکثر برنج و دومی حداکثر تخم‌مرغ دارد را در نظر بگیرید. می‌دانیم در بین تعدادی عدد، ماکسیمم آن‌ها از میانگین‌شان بزرگتر یا مساوی است. پس در سبد اول حداقل 10 کیلو برنج (میانگین برنج‌ها) و در سبد دوم حداقل 30 عدد تخم‌مرغ (میانگین تخم‌مرغ‌ها) وجود دارد.

دو حالت وجود دارد:

• این دو سبد یکسان باشند. در این‌صورت یک سبد دلخواه دیگر انتخاب می‌کنیم و طوری عملیات را روی این دو سبد انجام می‌دهیم که در سبد اول دقیقا 10 کیلو برنج و 30 عدد تخم‌مرغ بماند و باقی را در سبد دوم می‌ریزیم.

• این دو سبد متفاوت باشند. در این حالت نیز چون مجموع تخم‌مرغ و برنج این دو به ترتیب از 30 عدد و 10 کیلو بزرگتر مساوی است، پس همانند قسمت قبل در سبد اول دقیقا 10 کیلو برنج و 30 عدد تخم‌مرغ قرار می‌دهیم و باقی را در سبد دوم می‌ریزیم.

پس در هر دو حالت یک سبد به مقدار نهایی خود رسید و حال $n-1$ سبد داریم که مجموعا $10(n-1)$ کیلو برنج و $30(n-1)$ عدد تخم‌مرغ دارند و طبق فرض استقرا می‌توان با $n-2$ حرکت مقادیر سبدها را یکسان کرد. پس توانستیم در مجموع با $n-1$ حرکت به خواسته مسئله برسیم.

دو. حال باید ثابت کنیم که با کمتر از 99 حرکت نمی‌توان به خواسته‌ی مسئله رسید. برای اینکار حالتی را مثال می‌زنیم که نتوان با کمتر از 99 حرکت به حکم رسید.

فرض کنید که تمام برنج‌ها و تخم‌مرغ‌ها در سبد اول باشند. در نتیجه 99 سبد خالی داریم. در هر مرحله حداکثر یکی از سبدهای خالی، پر خواهد شد، چرا که یا دو سبد هر دوخالی هستند که تغییری در این دو سبد بوجود نمی‌آید و یا حداکثر یکی از آن‌ها خالی است که در این حالت نیز حداکثر یک سبد خالی، پر شده است. فلذا برای پر کردن 99 سبد خالی حداقل 99 حرکت لازم است.

خیلی بدیهیه که ۹۹ میشه .

۹۹ میشه چون با هر حرکت میتوان یک سبد را درست کرد و آخریش خودش درست میشه اگه همه کالا ها توی سبد اول باشه با هر حرکت حداقل یک سبد خالی را میتوان پر کرد پی حداقل ۹۹ حرکت نیاز است

خوب این که سوال مرحله 2 ریاضیه این لینک جواب : http://ysc.ac.ir/img/upload/news_86.pdf

معلومه 99 میشه دیگه

جواب باشگاه یه نقص داره :دی
اثبات نکرده که 99 کم ترین مقداره
اثباتش هم به این شکل هست:
یه گراف 100 راسی درست میکنیم که هر راسش نماینده ی یک سبد هست و اگر جابجایی بین 2 سبد انجام شده باشد، بین دو راس مربوط به آن سبدها، یک یال رسم میکنیم. توجه کنید که لزومی نداره گرافمون ساده باشه
حالا میگیم بعد از یکسان سازی تخم مرغ و برنج سبدها، تعدادی مولفه ی همبند در گراف درست میشه. وقتی یک مولفه ی $k$ راسی درست شده، یعنی مجموع تعداد تخم مرغ های آن سبدها قبل از جابجایی برابر$ 30k $ بوده. (همچنین $ 10k $ کیلوگرم برنج) و این یعنی تخم مرغ ها و برنج های هر مولفه برای تمام رئوس آن کافی بوده است.
s$ $ را کم ترین تعداد یال های لازم را برای ساخت یک گراف 100 راسی با $ t $ مولفه ی همبند در نظر بگیرید. واضح است که هر چه t بیشتر باشد، s کم تر خواهد بود.
پس بدترین حالت برای گراف ما اینه که فقط یه دونه مولفه ی همبند داشته باشیم که این یعنی گرافمون همبند هست. یه قضیه تو گراف هست که میگه کم ترین تعداد یال برای این که یه گراف n راسی همبند باشه، n-1 هست. خب پس حداقل تعداد یال های ما در بدترین حالت، $ 100-1= 99 $ هست.