کلا n حالت چرخش داریم، و در مجموع همه ی این حالات؛ هر نفری همه ی کارت ها رو میبیند. پس در مجموع این n حالت چرخش حداقل n نفر وجود دارند که مقابل کارت خود قرار دارند، چون صورت سوال گفته در حالت اولیه هیچ کس مقابل کارت خود نیست، پس در n-1 حالت باقی مانده در مجموع n نقر کارت خود را میبینند که طبق اصل لانه کبوتری در یک حالت، حداقل 2 نفر مقابل کارت خود هستند

راه حل احتمالاتی :

یک عدد تصادفی از 1 تا $n-1$ انتخاب می کنیم و میز را به اندازه ی آن عدد می چرخانیم.

متغیر تصادفی $X_i$ را برابر با یک در نظر می گیریم اگر نفر $i$ ام جلوی کارت خود قرار بگیرد و در غیر اینصورت برابر با صفر قرار می دهیم.

متیغر تصادفی $X$ را برابر با تعداد افرادی در نظر می گیریم که روبروی کارت خود قرار می گیرند .

بدیهی است که $X=\sum_{i=1}^n X_i$ حال امید ریاضی متغیر تصادفی $X_i$ را بدست می آوریم .

$E[X_i]=\frac{1}{n-1}$

حال با توجه به خطی بودن امید ریاضی داریم $E[X]=\frac{n}{n-1} >1$

پس در بین تمام حالات ممکن برای چرخش میز ، حالتی وجود دارد که $X> 1$ . و با توجه به اینکه X‌یک عدد صحیح است پس $X\geq 2 $

یعنی حداقل 2 نفر روبروی کارت خود قرار گرفته اند.

حالت های جرخش میز را که n-1 تا هستند به عنوان لانه ها و تعداد درست شدن کارت مقابل شخص مقابل خود که n حالت دارد کبوترهایمان میگیریم. طبق اصل لانه کبوتری حداقل دو کبوتر در یک خانه اند پس در یک حالت میز 2 نفر در مقابل یک کارت قرار دارند.

کارت شماره ۱ رو در نظر بگیرید. میز رو میتونیم $n$ حالت بچرخونیم طوری که با هر حالت کارت مقابل یکی از مهمانها قرار بگیره. دقیقا در یکی از این حالات این کارت مقابل فرد شماره ۱ قرار گرفته. به همین ترتیب در $n$ حالت چرخش میز، هر یک از کارتها دقیقا یک بار مقابل صاحبشون قرار میگیرند.

هر اتفاق قرار گرفتن یک کارت روبروی صاحب درستش رو یک کبوتر فرض کنید و هر حالت چرخش میز رو یک لانه. $n$ لانه داریم و $n$ کبوتر. اما میدانیم یکی از لانه ها (وضعیت فعلی میز) خالی است (چون هیچ کارتی مقابل صاحبش قرار نگرفته). پس حتما لانه ای وجود داره با حداقل دو کبوتر، وضعیتی از میز که دو کارت در مقابل صاحبانشون قرار گرفتند.