پاسخ درست ۱۶ است اما برای آن که با ۱۶ جایگشت برنده شویم: کافی است اعداد ۱ تا ۱۶ را در جایگاه های ۱ تا ۱۶ به طور دوری بچرخانیم (جایگاه اعداد ۱۷ تا ۳۰ مهم نیست، مثلا میتوانند این اعداد در همه جایگشت ها سر جای خودشان باشند). یعنی در جایگشت اول همه اعداد جای خودشان باشند، در جایگشت دوم عدد ۱۶ به ابتدا آمده باشد و اعداد ۱ تا ۱۵ در جایگاه های دوم تا ۱۶ ام، جایگشت بعدی اعداد ۱۵ و ۱۶ ابتدا و سپس اعداد ۱ تا ۱۴. با این حساب ما حتما برنده ایم چون اگر هیچ یک از اعداد ۱ تا ۱۶ در این ۱۶ جایگشت سر جای خودش نباشد چون هرکدام از آنها در کل ۱۶ جایگاه اول آمده، جایگاه های باقیمانده برای کل این اعداد جایگاه ۱۷ تا ۳۰ است، یعنی باید ۱۶ عدد را در ۱۴ جایگاه جا دهیم که غیر ممکن است.

اما برای آن که ثابت کنیم با کمتر از ۱۶ جایگشت نمیتوانیم به برنده شدن خود مطمین باشیم:

فرض کنید $k$ جایگشت گفته ایم و برنده شده ایم. یک گراف دو بخشی می سازیم: راسهای یک بخش معرف اعداد ۱ تا ۳۰، و راسهای بخش دیگر معرف جایگاه های ۱ تا ۳۰. هر عدد $i$ را به یک جایگاه $j$ وصل میکنیم اگر در بین $k$ جایگشت ما عدد $i$ هیچ گاه در جایگاه $j$ ام نیامده باشد. اگر گراف ما یک «تطابق کامل» داشته باشد (یعنی بتوانیم زیرمجموعه ای از ۳۰ یال را پیدا کنیم طوری که هر شماره دقیقا به یک جایگاه وصل شده باشد) در آن صورت جایگشتی یافته ایم که ما را بازنده میکند - چرا که هیچ یک از اعداد در $k$ جایگشت ما در جای خودشان ظاهر نشده اند. پس برنده شدن ما دقیقا معادل آن است که گراف حاصل هیچ تطابق کاملی نداشته باشد.

طبق قضیه فیلیپ-هال شرط لازم و کافی برای وجود داشتن تطابق کامل در این گراف دوبخشی آن است که به ازای هر زیرمجموعه $S$ از شماره ها، تعداد جایگاه هایی که از $S$ یال دارند حداقل به اندازه $|S|$ باشد. برای آن که گراف حاصل تطابق کامل نداشته باشد باید یک زیرمجموعه $S$ از شماره ها ایجاد کنیم که به تعداد جایگاه های کمتری یال داشته باشند. اگر کل جایگاه هایی که $S$ بدان یال دارد را $R$ و سایر جایگاه ها را $T$ و اندازه $S$ و $R$ و $T$ را به ترتیب $s$ و $r$ و $t$ بنامیم خواهیم داشت:‌$s>r$ و $t=30-r$ و در نتیجه $t>30-s$.

برای آن که هیچ یالی بین اعضای $S$ و اعضای $T$ نباشد میبایست هر یک از اعداد عضو $S$ در جایگشتهای ما در همه جایگاه های عضو $T$ ظاهر شده باشند. چون در هر جایگشت هر عدد فقط در یک جایگاه ظاهر میشود داریم $k\geq t$ و با توجه به $t>30-s$ داریم $k> 30-s$ و چون در هر جایگشت هر جایگاه فقط میتواند پذیرای یک عدد باشد داریم $k \geq s$. از حاصل جمع دو نامساوی اخیر داریم $k> 15$. یعنی حداقل تعداد جایگشت لازم برای این کار ۱۶ تا است.