من قبل از یک راه حل، روال فکر کردن خودم به این مساله رو مینویسم:

اول هر ۵۲ کارت رو به یک ترتیب دلخواه شماره ۱ تا ۵۲ میدیم. حالا قدری جای نفر بعدی فکر میکنیم:‌ با داشتن ۴ تا کارت چه چیزهایی میتونه استنباط کنه؟ (۱) ترتیب اون کارتها (۲) زوج یا فرد بودن اون کارتها.

با ترتیب شروع کنیم. ۴ تا کارت داده شده میتونستند به $4!=۲۴$ جایگشت مختلف به ما داده بشن. اما تعداد کارتهای باقیمانده که باید از بینشون انتخاب کنیم ۴۸ تاست. پس جایگشت به تنهایی جوابگو نیست. اما ما یک امکان دیگه هم داریم: نحوه انتخاب کارت پنجم. اگه بتونیم طوری به نفر بعدی بفهمونیم که کارت پنجم زوج هست یا فرد میشه امیدوار بود که ۴۸ تا کارت کاندید نصف بشه (یعنی ۲۴ تا) که دیگه بر اساس جایگشت بشه کارت پنجم رو شناخت.

اما مشکل با زوجیت کارتها اینه که ما روی اون کنترل کامل نداریم چون ۵ تا کارت رو به ما میدن که ممکنه هر جور زوجیتی داشته باشن. مثلا یک انتخاب این بود که کارتی رو به عنوان پنجمی انتخاب و از ۴ تا کارت دیگه جدا کنیم که زوجیتش با زوجیت جمع شماره ۴ تا کارت دیگه برابر باشه. اگر مجموع هر پنج تا کارت عددی زوج باشه حتما بین اونها عددی زوج وجود داره (جمع ۵ تا عدد فرد یک عدد فرد هست)، میتونیم اون رو جدا کنیم. این طوری مجموع ۴ تا کارت باقیمانده هم زوج هست که به نفر بعدی میفهمونه کارت پنجم باید زوج باشه. اما اگر جمع پنج تا کارت فرد باشه، هر طور کارت پنجم رو انتخاب کنیم جمع ۴ تا کارت باقیمانده زوجیت متضاد کارت پنجم پیدا میکنه. پس این راه نادرسته.

یه مشکل دیگه هم بود: حتی مثلا اگر به نفر بعدی میفهموندیم کارت پنجم زوج هست، ممکن بود از بین ۴۸ تا کارت باقیمانده بیش از ۲۴ تا زوج باشند که دیگه حتی شماره جایگشت که فقط ۲۴ حالت رو مشخص میکنه هم دردی رو دوا نکنه. برای حل این مشکل میتونیم ۴۸ تا کارت باقیمانده رو دوباره بر اساس ترتیب کوچک به بزرگ قبلی از ۱ تا ۴۸ شماره گذاری کنیم.

حالا برای فهموندن زوجیت کارت پنجم میتونیم این کار رو بکنیم: اگر جمع عدد ۵ تا کارت زوج بود، کوچکترین کارت رو به عنوان کارت پنجم در نظر میگیریم:‌ چون کوچکترین کارت بوده شماره اش در ترتیب ۴۸ کارتی جدید با شماره قدیمش یکسان هست. چون جمع ۵ تا کارت زوج بوده پس زوجیت ۴ کارت باقیمانده با این کارت برابر هست، یعنی نفر بعدی میتونه بر اساس زوجیت مجموع ۴ تا کارت متوجه بشه که کارت پنجم باید شمارش زوج باشه یا فرد. اگر جمع ۵ تا کارت فرد بود اون موقعی کارتی که در ترتیب کوچک به بزرگ ۵ کارت دومی هست رو انتخاب میکنیم. زوجیت مجموع ۴ کارت باقیمانده با شماره قدیم این کارت متفاوت هست. اما چون یکی از ۴ کارت شماره کمتری داره و از ترتیب ۴۸ کارت حذف شده، شماره جدید کارت پنجم زوجیتی برابر مجموع ۴ کارت باقیمانده پیدا میکنه، هورا! تا اینجا به نفر بعدی فهموندیم کارت پنجم از بین ۴۸ کارت باقیمانده با شماره های جدید چه زوجیتی داره. پس فقط ۲۴ تا کارت باقی می مونن که دوباره به اونها از ۱ تا ۲۴ شماره میدیم (به ترتیب کوچک به بزرگ از شماره های اولیه) و کارت پنجم هم بین اونهاست.

حالا برای تعیین شماره یکی از اون ۲۴ کارت کافیه کل جایگشتهای ۱ تا ۴ رو به ترتیب (شبیه الفبایی) بنویسیم و به اونها از شماره ۱ تا ۲۴ شماره بدیم. مثلا ۱۲۳۴ میشه جایگشت اول، ۱۲۴۳ میشه دوم، ۱۳۲۴ میشه سوم، به همین ترتیب. حالا شماره جدید کارت پنجم رو در نظر میگیریم و ۴ کارت رو به ترتیب جایگشت با شماره مورد نظر به نفر بعد تحویل میدیم. این طوری نفر بعد متوجه جایگشت میشه، میتونه شماره جایگشت رو حساب کنه و بعدا کارت درست رو از بین ۲۴ کارت با زوجیت درست شناسایی کنه :-)