از یک راس دلخواه $v$ ، $dfs$ میزنیم و همه ی رئوسی که از $v$ بهشون میشه رفت رو پیدا میکنیم. برای قویاَ همبند بودن گراف لازمه که از $v$ به همه بشه رفت پس اگه راسی وجود داشت که از $v$ بهش نشه رسید، قطعا گراف قویا همبند نیست.
حال گراف رو چپه میکنیم!! یعنی از روی گراف $G$ ، $G'$ رو میسازیم به این صورت که در $G'$ به ازای هر دو راس $v$ و $u$ ، $v$ به $u$ یال جهت دار داره اگر و تنها اگر در $G$ ، $u$ به $v$ یال جهت دار داشته باشه. واضحه که هر مسیر تو$G'$ متناظر با یک مسیر تو $G$ در جهت برعکس هست (یعنی اگر در $G'$ ، از $a$ به $b$ بشه رفت در $G$، از $b$ به $a$ میشه رفت.)
حال دوباره تو $G'$ از همان راس $v$، $dfs$ میزنیم و رئوسی رو پیدا میکنیم که الان از $v$ بهشون بشه رسید و متناظر با رئوسی در $G$ هستند که از اونا به $v$ بشه رسید. این بار هم اگر راسی دیده نشه یعنی گراف قویا همبند نیست.
لم : اینکه در در هر دو $dfs$ همه ی رئوس دیده شوند، برای قویا همبند بودن گراف شرط کافی هم هست! چون اگر از هر راسی به $v$ بشه رسید و از $v$ هم به هر راسی بشه رفت، یعنی از هر راسی به هر راس دیگه ای میشه رفت! $^_^$

می دونیم که اگه یک گراف همیلتونی باشه قویا همبند هم هست پس می تونیم با یه dfs از راس دلخواه حرکت کنیم اگه که بعد از دیدن n-1 راس به اون رسیدیم دور همیلتونی داره در غیر اینصورت نداره.

کافیه برای هر راس به طور جداگانه الگوریتم bfs رو اجرا کنی و یه آرایه n*n بگیریو همشو 0 کنی و از راس i به هر راسی که رسیدی (مثلا به راس m) خونه (i,m) رو 1 کنی. این لینک از ویکیپدیا هم یه الگوریتم به اسم کساراجو معرفی کرده که برای پیدا کردن تعداد مولفه های همبندی گراف جهت دار استفاده میشه: