اول از همه k تا از نقاط را سفید و k تای بقیه را سیاه می‌کنیم. حال راهی میابیم که همه‌ی نقاط ۲ به ۲ به یکدیگر وصل باشند و دو سر هیچ پاره‌خطی یک رنگ نباشد.

تمام حالاتی که می‌توان نقاط غیر همرنگ را با n پاره خط به هم وصل کرد در نظر می‌گیریم و از میان این حالات حالتی که جمع طول پاره‌خط‌هایش از همه کوچک‌تر است را انتخاب می‌کنیم و ادعا می‌کنیم که در این حالت هیچ تقاطعی وجود ندارد چون بنابر برهان خلف اگر تقاطعی داشته باشیم می‌توان به جای ۲ خط توپر(در شکل زیر به عنوان مثال) دو خط تو خالی(خط چین) را جایگزین کنیم که جمع طول پاره خط ها کمتر می‌شد و این تناقض است.

(ببخشید اگه عکس بد شده)

هر لحظه مجموع طول پاره خط ها در حال کمتر شدن است . و حالتی هم وجود دارد که این مجموع می نیمم مقدار را دارد . پس این کار پایا ن پذیر است .

خوب این سوال با استقرایی سعیف روی تعداد جفت های نقاط هم حل می شد : پوش محدب حاصل از این نقاط رو در نظر بگیرید و به ازای راست ترین ، پایین ترین راس ، اونم به نزدیک ترین راس روی پوش محدب وصل کنید ، حالا بقیه ی نقاط رو طبق فرض استقرار به هم وصل می کنیم. که با یه برهان خلف هم ثابت میشه فرض استقرار شروطش با کشیدن اون خطی که گفتیم همچنان برقراره ،، فرض کنیم خطی این خط اولیه ی ما رو قطع بکنه در اون صورت نقطه ی دیگری روی پوش محدب بوده که به راس مذکور نزدیک تر بوده یا اینکه نقطه ای که گفتیم از همه به راست ترین ، پایین ترین نزدیک تر بوده اصلا رپی پوش محدب نبوده