خیر

ثابت میکنیم تعداد خانه های سفید، و تعداد خانه های سیاه، در چنین جدولی همواره زوج می ماند، لذا رسیدن به حالتی که یک (تعداد فرد) خانه سیاه داشته باشیم غیر ممکن است.

اثبات: با استقرا روی تعداد مرحله ها. به ازای صفر حرکت (حالت اولیه جدول) پاسخ درست است، زیرا نصف خانه های یک جدول شطرنجی سیاه و نصف آن سفید هستند که این تعداد برابر ۳۲ و عددی زوج است (پایه استقرا).

حال فرض کنید با $n-1$ مرحله باز هم تعداد خانه های سیاه و سفید در جدول زوج باشد (فرض استقرا). ثابت میکنم با $n$ مرحله باز هم این تعدادها زوج می مانند (حکم استقرا).

اگر تعداد خانه های سیاه در سطر یا ستونی که حرکت $n$ ام روی آن انجام میشود را $k$ بنامیم، آن سطر یا ستون $8-k$ خانه سفید دارد. پس از انجام حرکت، $k$ خانه سیاه تبدیل به سفید، و $8-k$ خانه سفید تبدیل به سیاه میشوند.

اگر تعداد کل خانه های سیاه جدول قبل از این حرکت را $A$ بنامیم (که طبق فرض استقرا عددی زوج است) پس از انجام این حرکت $A-k+(8-k)$ خانه سیاه خواهیم داشت. این عدد برابر $A+8-2k$ می باشد و چون حاصل جمع و تفریق سه عدد زوج است (توجه کنید که $2k$ همواره زوج است) پس حاصل عددی زوج است. یعنی تعداد خانه های سیاه جدول پس از حرکت $n$ ام زوج است.

چون جدول کلا ۶۴ خانه دارد، اگر تعداد خانه های سیاه آن زوج باشد، بدیهی است که تعداد خانه های سفید آن هم زوج است (حاصل تفریق دو عدد زوج). پس حکم استقرا اثبات شد.

چون در هر مرحله ۸ خانه تغییر وضعیت می دهند پس اگر تعداد خانه هایی که از سفید به سیاه تبدیل می شوند فرد باشد تعداد خانه هایی که از سیاه به سفید تبدیل میشوند هم فرد باید باشد و اگر تعداد خانه هایی که از سفید به سیاه تبدیل می شوند زوج باشد تعداد خانه هایی که از سیاه به سفید تبدیل میشوند هم باید زو ج باشد پس اختلاف تعداد داد خانه های سیاه و سفید همواره زوجیت یکسانی دارد و چون در ابتدا این زوجیت فرد بوده تا آخر فرد باقی میماند بنابراین نمیتوان ب چنین وضعیتی رسید