گرافی دو بخشی میسازیم که بخش بالای آن مسائل و بخش پایین آن افرادند. فرض کنید $n$ نفر داریم.حداقل تعداد یالها را میشماریم. میدانیم که $\binom{6}{2}*\frac{(2n+1)}{5}$ حداقل تعداد 7 های ماست(7 دو یال است که در راس پایین مشترکند) زیرا هر دو مساله توسط بیش از $\frac {2n}{5}$ نفر حل شده اند پس حداقل توسط $\frac {2n+1}{5}$ نفر حل شده اند. بنابرین حداقل $6n+3$ هفت داریم. اما تعداد 7 ها را به طریقی دیگر میشماریم . فرض کنید نفر $i$ ام $d_{i}$ سوال حل کرده باشد. بنابرین بدیهتا تعداد 7 ها برابر است با $\sum \binom {d_{i}}{2}$ .

حال ابتدا فرض کنید هیچ کسی پنج سوال را حل نکرده. پس $d_{i} \leq 4$ یعنی $ 6n+3 \leq \sum \binom {d_{i}}{2}\leq n* \binom{4}{2}=6n$ که تناقض است بنابرین شخصی وجود دارد که پنج سوال حل کرده است.

حال اگر کسی دیگر وجود نداشته باشد که 5 سوال حل کرده ست آنگاه ابتدا دقت کنید که اگر کسی وجود داشته باشد که کمتر از 4 سوال حل کند به همین طریق به تناقض میخوریم.پس همه اشخاص دیگر دقیقا 4 سوال حل کرده اند.بنابرین تعداد کل7 ها برابر $ \sum \binom {d_{i}}{2}=6(n-1)+10=6n+4$ است.حال اگر تعداد اشخاصی که هر دو سوال را حل کرده اند را با $d_{ij}$ نشان دهیم که $i,j \leq 6$ داریم $\sum d_{ij}=6n+4$ اما تعداد این اعداد 15 تا است و همه از $\frac {2n+1}{5}$ ناکمترند پس همه به جز یکی با این عدد مساویند و دیگری برابر $\frac {2n+6}{5}$ است.بنابرین دقیقا 4 مساله وجود دارد که درجه مشترک آن با همه مسائل دیگر $\frac {2n+1}{5}$ باشد.پس حداقل یک مساله وجود دارد که توسط شخص درجه پنج حل شده و این خاصیت را دارد. حال تعداد 7 هایی که شامل این مساله هستند را میشماریم.(این مساله را مساله 1 در نظر بگیرید) از طرفی حداقل یک مساله هم وجود دارد که با مساله ای دیگر در $\frac {2n+6}{5}$ نفر مشترک باشد و توسط فردی که 5 سوال را حل کرده حل شده باشد. این مساله را مساله 2 بگیرید.

از یک طرف اگر مساله 1 توسط $k$ نفر حل شود تعداد 7 های شامل مساله 1 برابر $3(k-1)+4=3k+1$ است و از طرف دیگر برابر با $d_{12}+d_{13}+...+d_{16}$ است اما طبق تعریف این مساله این مقدار برابر است با $\frac{2n+1}{5}*5=2n+1$ . پس $2n=3k$ یعنی $n$ بر3 بخش پذیر است.

از طرفی اگر $k'$ تعداد افراد متصل به مساله 2 باشد به روش مشابه با شمردن 7 های شامل مساله 2، $2n+2=3k'+1$ پس$2n+1$ بر 3 بخش پذیر است اما $n$ نیز بر 3 بخش پذیر است که تناقض است.

تناقض حاصله اثبات را کامل میکند و نشان میدهد دو نفر با 5 سوال حل شده موجودند.