تعداد کل "اتفاق نظر ها(!)" رو $S$ مینامیم. از یطرف میتونیم بگیم که $S \le k \times \frac {n \times (n - 1)}2$ چون هر جفت داور حداکثر $k$ تا اتفاق نظر به تعداد اضافه میکنن.

حالا از اونطرف بیاین ببینیم $S$ حداقل چقد میتونه باشه! به ازای $i$ دلخواه ($1 \le i \le m$) اگر $x$ نفر از داورا شرکت کننده ی $i$م رو قبول کنن و $y$ نفر ردش کنن، داریم :

1) تعداد اتفاق نظر هایی که داور ها روی این شرکت کننده دارن برابر با $S_i = \frac {x \times (x - 1)}2 + \frac {y \times (y-1)}2$ است.
2) $x + y = n$
پس با ترکیب 1و2 میشه گفت :

$2S_i = x \times (x - 1) + (n - x) \times (n - x - 1)$

$\Rightarrow 2S_i = 2x^2 + n^2 - 2nx - n$

$\Rightarrow S_i = x^2 - xn + \frac{n^2}2 - \frac n2$

$\Rightarrow S_i = (x - \frac n2)^2 - \frac {n^2}4 + \frac {n^2}2 - \frac n2$

$\Rightarrow S_i = (x - \frac n2)^2 + \frac {n^2}4 - \frac n2$

(هوف ... چقد محاسبه)

$\Rightarrow S_i = (x - \frac n2)^2 + \frac {(n - 1)^2}4 - \frac 14$

$\Rightarrow S_i\ge\frac {(n - 1)^2}4 $
(توجه کنید که در خط بالا از اینکه $\frac 14$ طبیعی نیست ولی چون $n$ فرده، $\frac {(n-1)^2}4$ طبیعیه و این واقعیت که در نهایت $S_i$ باید طبیعی باشه استفاده شد!)
خب در نهایت داریم :

$m \times \frac {(n - 1)^2}4 \le S \le k \times \frac {n \times (n - 1)}2$

و در نتیجه $\frac km \ge \frac {n-1}{2n} $ $^_^$

این سوال رو با روش های احتمالاتی هم می شه حل کرد .