سوالی رو که می خوایم 2 گونه بشماریمشو یه چیزی تو این مایه ها تعیین می کنیم که مثلا n نفر داریم و می خوایم تیم 2 نفره بسازیم حالا 2 روش از حالت های ساخت تیم 2 نفره رو می خوایم به مربی تیم مثلا پیشنهاد بدیم (یه همچین حدودایی دیگه)

حالا یه حالت شمردنه شدن همون انتخاب 2 از (انتخاب 2 از n) می شه که معلومه چه طوری دیگه

یه حالت دیگه اینه که یه نفر مثلا به این n نفر اضافه کنیم حالا 4 نفر رو از این n+1 نفر انتخاب کنیم 2 حالت داره

1- یا اونی که اضافه کردیم تو این 4 نفر نیس .که یه نفر از این 4 نفرو می گیریم. برا این که این یارو تو معرفی تیم با کی هم تیمی باشه 3 حالت انتخاب داریم. و اون2 تایی هم که مونده با هم یه تیم پیشنهاد می کنیمشون

2- یا اونی که اضافه کردیم تو این 4 نفر هست. که اینجا کسی که اضافه کردیم رو حذف می کنیم حالا به 3 حالت یه نفرو انتخاب می کنیم و این آدمه عضو مشترک 2 تیمی می شه که می خوایم معرفی کنیم ینی 2 نفری که موندن با هر دوی اونا تیم معرفیش می کنیم

پس به هر حال ضرب در 3 رو داشت

پس حالا روش شمردن حالت دوم رو در نظر بگیریم می شه همون 3 ضرب در انتخاب 4 از (n+1)

(می دونم یه کم بد نوشتم اگه نفهمیدید بگید دوباره توضیح بدم :-"")

منم یه راه دیگه دارم یه گراف کامل n راسی را در نظر بگیرید میخواهیم دو یال را از آن انتخاب کنیم: راه 1: دو تا یال از=

$ \binom{\binom{n}{2}}{2} $

یال های گراف راه 2:

الف: سه تا راس انتخاب کنیم که میشه $ {\binom{n}{3}} $ و تعداد جفت کردن راس ها که میشه $ 3{\binom{n}{3}} $

ب: چهار تا راس انتخاب کنیم که میشه $ {\binom{n}{4}} $ و تعداد جفت کردن راس ها که میشه $ 3{\binom{n}{4}} $

و(پاسکال) $3{\binom{n}{4}}+3{\binom{n}{3}}=3{\binom{n+1}{4}}$

پس : $ \binom{\binom{n}{2}}{2}=3\binom{n+1}{4}$

مساله ای را که به این تساوی مربوط می کنیم:

تعداد گراف های برچسب دار n راسی دارای فقط 2 یال؟

شمارش سمت چپ تساوی که واضح است! (اگر نیست بفرمایید تا واضحش کنم! :دی)

سمت راست تساوی را به صورت زیر می شماریم:

پاسخ مساله را به دو زیر مجموعه افراز می کنیم: 1- تعداد گراف های برچسب دار n راسی دارای فقط 2 یال با راس مشترک 2- تعداد گراف های برچسب دار n راسی دارای فقط 2 یال بدون راس مشترک

شمارش حالات افراز 1: هر 3 راسی را که انتخاب کنیم و به هم وصل کنیم (K3)، به 3 طریق می توانیم از داخل آن 2 یال با راس مشترک بیرون بکشیم! که برابر است با: $3 \binom{n}{3}$

شمارش حالات افراز 2: هر 4 راسی را که انتخاب کنیم و به هم وصل کنیم (K4)، به 3 طریق می توانیم از داخل آن 2 یال بدون راس مشترک بیرون بکشیم! که برابر است با: $3 \binom{n}{4}$

مجموع حالات افراز 1 و 2 که برابر جواب مساله است برابر است با: (با کمک اتحاد پاسکال)

$$3\binom{n}{3} + 3\binom{n}{4} = 3\binom{n+1}{4}$$