فرض بگیریم $a = n - k + 1$ .
اتحاد روبرو هم ارز اتحاد مسئله است : $\frac {a + k - 1}k{ a-2 \choose k-1}={a \choose k}-{a-2 \choose k-2}$ .
دوگونه شماری : تعداد حالت های انتخاب یه تیم $k$ نفره از بین $a$ نفربصورتی که دو نفر $A$ و $B$ که از دیرباز با هم دشمنن همزمان تو تیم نیفتن.
1) در بین همه ی انتخاب های تیم $k$ نفره که ${a \choose k}$ تاست، تیم های بد با حذف $A$ و $B$ متناظر با انتخاب تیم های $k - 2$ نفره از $a - 2$ نفر که برابر ${a-2 \choose k-2}$ تاست میشن! پس جواب برابر ${a \choose k} - {a-2 \choose k-2}$ است.
2) همه ی تیم بندی های خوب حداقل $k-1$ نفر از بقیه افراد (بجز $A$ و $B$) دارن ... انتخاب این افراد ${a-2 \choose k-1}$ حالت داره. بعد از انتخاب این افراد برای نفر آخر حالت های زیر رو داریم :
آخریه $A$ باشه. (1 حالت)
آخریه $B$ باشه. (1 حالت)
آخریه یکی دیگه بجز $A$ و $B$ باشه ... آخریه $a - 2 - (k - 1) = a - k-1$ حالت داره ولی تیم درست شده چون $A$ و $B$ ندارد، $k$ بار شمرده شده پس به ازای هر حالت $\frac {a - k - 1}{k}$ حالت داریم.
پس در مجموع به ازای هر حالت انتخاب $k-1$ نفر ما $2 + \frac {a - k - 1}{k} = \frac{a+k-1}k$ حالت داریم. پس :
$\frac {a + k - 1}k{ a-2 \choose k-1}={a \choose k}-{a-2 \choose k-2}$ $^_^$

این اثبات من یه کم شهودیه:

اول از همه اینکه معادله رو به این صورت مینویسیم تا از حالت کسری و منها خارج شه:

$$k\binom{n-k-1}{k-2}+n\binom{n-k-1}{k-1} = k\binom{n-k+1}{k}$$

حالا فرض کنیم میخوایم از $n-k+1$ نفر k نفر رو انتخاب کنیم و یکی از این $k$ نفر رو هم به عنوان رئیش انتخاب کنیم، که طرف راست تساوی این حاصل رو نشون میده

حالا 3 حالت وجود داره:

1.نفرات $n-k+1 $ و $n-k$ در گروه حضور دارن، که پس باید $k-2 $ نفر رو از بقیه ی نفرات انتخاب کنیم و بعد هم رئیسشون رو انتخاب کنیم که میشه $k\binom{n-k-1}{k-2}$ حالت.

2.یکی از نفرات $n-k+1 $ و $n-k$ در گروه هستن

3.هیچ کدوم از اینا تو گروه نیستن

که حالت های 2 و 3 رو میخوایم با قسمت دوم عبارت بررسی کنیم یعنی:$n\binom{n-k-1}{k-1}$ به این صورت که $k-1$ عدد از 1 تا $n-k-1$ انتخاب میکنیم و یه عدد $p$ از 1 تا $n$ هم انتخاب میکنیم، اینحا هم 4 حالت وجود داره:

الف) $1 \le p \le n-k-1$ و p توی این $k-1 $ نفر انتخاب شده نیست: که در این حالت $k-1$ نفر قبلی و نفر با اندیس $p $ گروه رو تشکیل میدن و رئیس هم فرد با اندیس $p$ هست

ب) $1 \le p \le n-k-1$ و p توی این $k-1 $ نفر انتخاب شده هست:که تو این حالت این $k-1$ نفر به همراه نفر با اندیس $n-k$ گروه رو تشکیل میدن و رئیس هم نفر $p$ هست.

پ) $p =n-k$ یا $p = n-k+1$:که در این حالت $k-1$ نفر قبلی و نفر با اندیس $p $ گروه رو تشکیل میدن و رئیس هم فرد با اندیس $p$ هست

ت)$n-k+2 \le p \le n$: که $k-1$ نفر قبلی به همراه نفر با اندیس $n-k+1$ گروه رو تشکیل میدن و رئیس هم $p-(n-k+1) $ امین فردیست (از نظر کوچکی) در بین $k-1$ نفری که قبلا انتخاب شدن!

پی نوشت: ببخشید یه کم بد توضیح دادم و حالت بندی شد!اما اگه نقطه نظری هست من در خدمتم!