سلام .

پاسخ سوال :

از دو فرض مسئله به این صورت استفاده می کنیم ، هر دو عضو متوالی ای از دنباله را در نظر بگیریم ، تفاضلشان حداقل 1 و عددی فرد است ، پس می تونیم برای یافتن تعداد این دنباله ها ، یه معادله دیگه حل کنیم ، برای سهولت در کار به ابتدای دنباله یک 0 و به انتهای دنباله $k+1$ اضافه می کنیم ،

حال $d_i$ رو به این صورت تعریف می کینم : $$d_i=a_{i+1}-a_i$$

که $i$ در بازه 0 تا $n$ می باشد ( وقتی 0 و $k+1$ رو اضافه می کنیم دنباله جدید از $a_0$ تا $a_{n+1}$ است )

طبق استدلال های بالا تمامی $d_i$ ها که $i$ در بازه 1 تا $n-1$ باید اعدادی فرد باشند اما زوج یا فرد بودن $d_0$ و $d_n$ را نمی دانیم ، پس حالا این معادله رو تشکیل می دهیم . $$\sum_{i=0}^n d_i = {k+1}$$ که این مقدار برابر $k+1$ است پس با حالت بندی روی زوجیت $d_0$ و $d_n$ می توانیم معادله را در مجموعه اعداد فرد حل کنیم که امیدوارم حل اون نوع معادله رو بلد باشید ، ضمنا موفق باشید !
اگه مشکلی در حل داشتید بگید تا حالت کلی رو همین جا بنویسم ، خسته نباشید !

k بیت در نظر میگیریم اگه بیت i ام در دنباله باشه 1 میزاریم میدونیم ب ازای دو "یک" متوالی تعداد زوجی صفر بینشون وجود داره

اگه $k-n$ زوج باشه: a1 فرد باشه: پس تمام n+1 بازه (بازه رو جاهایی ک صفر هستن در نظر میگیریم)باید زوج صفر داشته باشه خب ینی جمع n+1 عدد زوج بشه k-n پس ینی جمع n+1 عدد بشه k-n/2

a1 زوج باشه:بازه ی اول و آخر باید فرد تا صفر داشته باشه خب پس میشه جمع n+1 عدد زوج بشه k-n-2 ک میشه جمع n+1 عدد بشه k-n-2/2

$${{k-n \over 2}+n \choose n}+{{k-n-2 \over 2}+n \choose n}$$

اگه $k-n$ فرد باشه:a1 فرد باشه بازه آخر فقط فرد تا صفر داره ک میتونیم حذفش کنیم ک میشه جمع n+1 عدد زوج بشه k-n-1 ک همون جمع n+1 عدد میشه k-n-1/2

a1 زوج باشه :فقط بازه اول فرد تا صفر داره ک همون مثل قبله n+1 عدد زوج بشه k-n-1 ک باز n+1 عدد جمش بشه k-n-1/2

$${{k-n-1 \over 2}+n \choose n}+{{k-n-1 \over 2}+n \choose n}$$

نمیدونم درس شد یا نه اولین باره ک دارم استفاده میکنم:))))