سلام و خسته نباشی !

پاسخ سوال :

اعداد 1 تا 1024 رو به مبنای 2 ببر .

خوب حتما می دونی ، عددی بر $2^i$ بخشپذیر است که در نمایش دودویی عدد موردنظر حداقل $i$ بیت در سمت راست آن عدد 0 باشد ، اثباتش هم خیلی ساده هست .

به جای اینکه ببینیم لامپ مربوط به هر عدد چندبار تغییر وضعیت پیدا می کند ، حساب می کنیم که هر لامپ چند بار در این 10 مرحله تغییر وضعیت نمی دهد ، پس بدیهی است که عددی که فرد بار تغییر وضعیت ندهد ، چون تعداد کل مراحل 10 تاست ، فرد بار هم تغییر وضعیت داده بنابراین پس از انجام عملیات روشن است .

تعداد اعدادی که تنها 1 بار تغییر وضعیت نمی دهند : این اعداد تنها اعدادی هستند که دقیقا 1 بیت 0 در سمت راستشان دارند پس تعدادشان می شود $2^8$

تعداد اعدادی که دقیقا 3 بار تغییر وضعیت نمی دهند : این اعدا تنها اعدادی هستند که دقیقا 3 بیت 0 در سمت راستشان دارند . پس تعدادشان می شود $2^6$

و به همین ترتیب اعدادی که $2k+1$ بار تغییر وضعیت نمی دهند اعدادی هستند که دقیقا $2k+1$ بیت 0 در سمت راستشان هست . پس تعدادشان می شود $2^{10-2k-2}$ .

پس جواب میشود :

341 = $2^8$ + $2^6$ + .... + $2^2$ + $2^0$

البته من 1024 رو که 11 بیتی هست در نظر نگرفتم اما این اعداد اصلا هرگز تغییر وضعیت نمی دهد و همچنان خاموش است .