این غلطه جواب درستو میزارم

n+1:نفر اولو در نظر بگیرید نفر اول باید توسط نفر دوم از دور رقابت ها حذف بشه وهمینطور نفر دوم باید توسط نفر سوم و... و اگه کسی از n+1 نفر اول مثل iتوسط فردی از شماره کوچیک تر خودش حذف بشود دیگه کسی با شماره بزرگتر از i نمیتواند برنده این دور رقابت ها باشه زیرا در هر مسابقه ای ک یه شرکت کنندش کوچیکتر ازi و یه شرکت کنندش بزرگتر از i باشه واضحه کی میبره!!!پس برنده ی تنیس بازان کوچتر از i برنده ی بازی میشود

حالا ثابت میشه تو مرحله i ام تنیس بازا با شماره i تا 2 بتوان n-i+1 بعلاوه(!)i -1 باقی می مونن اگه هر مرحله نفر اول این مرحله با نفر دومشون مسابقه بده و نفر دوم ببره برا بقیه هم نصفه اول با نصفه دوم مسابقه بدن و مسلما نصفه اول ببرن افراد با شماره هایi+1 تا 2 بتوان n-i بعلاوه i باقی میمونن

پس در آخر نفر n+1 ام باقی میمونه

حالا ب احتمال زیاد درستش :2n

ابتدا ثابت میکنم حداکثر 2n+1 میشود

اگر اولین عضو بعد از مرحله j ام i باشد باشد در مرحله b حداکثر نفر ${(b-j) \times 2 + i}$ام نفر اوله مسابقه است(اثباتش با استقراست اینطوریه ک نفرiام حداکثر توسط i+2ام از بین میره پس نفر i+2 ام باید یه مرحله حداقل بیش تر از نفر iام باقی بمونه و...)

بعد از مرحله 0حداکثر نفر اول نفر اول مسابقست!پس حداکثر بعد از n مرحله2n+1 امین نفر نفر اوله

اینطوری نیست چون فرض کردیم در هر مرحله 2 نفر ابتدایی مجموعه از بین برن ولی در مرحله آخر فقط یک نفر از بین میره پس باید از 2n+1 امین نفر کمتر باشه

حالا میگیم به ازای 2n میشه هر مرحله قبل از مرحله n ام چار نفر اول با هم مسابقه بدن اینطوری ک نفر چارم از نفر دوم ببره و نفر سوم از نفر اول بعد بقیه اینطوری مسابقه بدن ک نصفه ی اول با نصفه ی دوم مسابقه بده و نصفه ی اول ببره حالا بعد از n-1 مرحله 2n-1 امین نفر و 2n امین نفر باقی میمونن ک نفر 2n ام میبره

اگه ناقص بود شرمنده:)

$2n$

اول با استقرا ثابت میکنیم کمترین شماره ای که در مرحله $k$ ام قرار دارد حداکثر $2k-1$ است .

به ازای $ k = 1 $ که بدیهیه ! حالا فرض میکنیم کمترین شماره که در مرحله $k$ ام قرار دارد شماره $2k-1$ است . این فرد در این مرحله یا برنده می شود یا به فرد شماره $2k$ میبازد یا به فرد شماره $2k+1$ میبازد . بنابراین کمترین شماره ای که در مرحله $k+1$ حضور دارد حداکثر $2k+1 $ است .

حالا ثابت میکنیم شماره برنده مسابقه نمیتواند بیشتر از $2n$ باشد .

فرض کنید قهرمان مسابقه فرد شماره $2n+1$ است . برای این که این فرد قهرمان شود باید در مرحله $k$ ام $ ( 1<=k<=n ) $ فرد شماره $2k+1$ از فرد شماره $2k-1$ برده باشد . و همچنین فرد شماره $2k+2$ از فرد شماره $2k$ برده باشد. که حتی در اینصورت هم نفرات $2n$ و $2n-1$ به فینال میرسند و فرد $2n+1$ به فینال نمی رسد !

مثال این هم که فرد $2n$ قهرمان شه خیلی سادس .

مثلا شماره های فرد یه طرف باشن و در مرحله $k$ ام فرد $2k+1$از رقیبش ببره و شماره های زوج هم یه طرف و در مرحله $k$ ام فرد شماره $2k+2$ از رقیبش ببره و به این ترتیب $2n$ قهرمان میشه !