اول یه شکل دیگ مینویسم

$$\sum_{r=0}^{n}{{n \choose n-r} \times {m+r \choose n}}=\sum_{r=0}^{n}{{m \choose r} \times {n \choose n-r} \times {2^r}}$$

سه مجموعه در نظر بگیر a,b,c تعداد مجموعه b ان نفره(n) تعداد مجموعه c ام نفره(m)

a در ابتدا مقداری نداره

حالا در آخر a تشکیل میشه از یه تعدادی(دلخاه)از مجموعه b

b هم تشکیل میشه از n نفر ک یا تو مجموعه c ان یا تو مجموعه b و اینکه این افراد جز a نیست

c هم تشکیل میشه از بقیه افراد

قسمت اول: میخایم یه تعداد از مجموعه b انتخاب کنیم برای a

$$n \choose n-r$$

ازون افرادی ک انتخاب نکردیم (r)و کل مجموعه c ان (n)نفرو انتخاب میکنیم برا مجموعه b بقیه هم برن تو c

$$m+r \choose n$$

حالا طرف دوم:

اول میایم اونایی رو انتخاب میکنیم ک از خود مجموعه b به خودش میره

$$n \choose n-r$$

حالا r نفره دیگه باید از مجموعه c انتخاب بشه

$$m \choose r$$

اون افرادی عضو b ان و برا رفتن ب مجموعه b انتخاب نشدن دو گزینه دارن a,c ک برا هر کدومشون دو حالته!!!

$$2^r$$

سلام آقای کامکاری من پ-م هستم با تشکر از معرفی این سایت اقای کامکاری از شما و عزیزان کابر دیگر تقاضا دارم که اگر برایشان دشوار نیست لطفی به این جانب بکنند 1-ویدو های اموزشی مرتبط را اگر مایلند (البته آنان که اینترنت پرسرعت دارند)برای حقیر دانلود و به صورت فلش بفرستند و هزینه دانلود هم حساب میکنم زیرا عزیزان من در مشهد هستم و سرعت اینترنت استان خراسان رضوی بسیار پایین است قربان همه عزیزان با تشکر