سلام.

اول میگیم می دونیم که هر عدد حقیقی ای حتما برابر تانژانت یکی از اعداد بین 0 تا 180 هست پس می تونیم عدد $i$- ام این سیزده عدد رو به صورت زیر تعریف کنیم:

$ tan \alpha_i = x_i $

حالا می تونیم این نامساوی رو به نامساوی یر تبدیل کنیم.

$ 0<\frac{tan x - tan y}{tan x.tan y + 1}<2-\sqrt{3} $

از طرفی داریم: ( فرمول 1)

$tan(x-y)=\frac{tan x - tan y}{tan x.tan y + 1}$

پس معادله ما به این تبدیل میشه :

$tan(x-y)<2-\sqrt{3}$ > 0

حالا مسئله ما به این مسئله تبدیل میشه: 13 عدد داریم ثابت کنید تانژانت اختلاف دوتا از آنها کوچیکتر از $2-\sqrt{3} $ هست.

برهان: ما میایم زوایای 0 تا 180 رو به 12 تا بازه 15 تایی تقسیم می کنیم حالا طبق لانه کبوتری تو یه بازه حتما 2 عدد انتخاب شده پس اختلافشون کمتر ار 15 هست از طرفی می دونیم تانژانت در ربع اول و دوم صعودیه پس تانژانت 15 درجه بزرگتر از تانژانت زوایای 0 تا 15 هست و همچنین می تونیم با فرمول 1 و قرار دادن $x=45 $ و $ y=30 $ تانژانت 15 رو حساب کنیم که برابر $2-\sqrt{3} $ میشه و حکم ثابت میشه.

البته برای اینکه تانژانت زاویه به دست امده بیشتر از 0 باشه باید $x$ رو برابر عدد بزرگتر و $y$ برابر عدد کوچکتر باشه.

نکته دیگه ای که هست اینکه تانژانت 90 برابر بی نهایته پس نمی شه 90 یکی از این عدد ها باشه پس حتما اختلاف دوتا از عددها کوچیکتر از 15 است.