با سلام ! مِن باب جواب باید بگم این راه حل با کمک های وصف ناپذیر استاد گرامی و فخر جهان جناب آقای محمدمهدی شکری به ثمر رسیده و این نهال نوپا بی پرتو رحمت ایشان به پشیزی نمی ارزد. به راه حل بپردازیم :

ادعا میکنیم اگه پرتوی نوری به آیینه ی اول نخوره همینطوری بالا میره و به هیچ آیینه ای نمی خوره و نهایتا با آیینه ی پایین (محور ایکس ها) برخوردی نخواهد داشت. اینم درست به نظر میاد چون خط واصل نقطه ی مبدا و اول هر آیینه (نقطه ی سمت چپ آن) شیبی کمتر یا مساوی ۲ دارد و این شیب بیشتر یا مساوی یک است. خط واصل نقطه ی مبدا و آخر هر آیینه شیبی بیشتر یا مساوی $\frac 3 2$ دارد و کمتر یا مساوی ۱ است. چون لبه های آیینه ی اول همین دو مقدار مرزی یعنی شیب ۲ و شیب $\frac 3 2 $ را با نقطه ی مبدا میسازند بس اگر بخواهیم نوری به طور مستقیم به آیینه ای غیر از اولی بتابانیم باید از داخل آیینه ی اول برتو را بگذزانیم که این نمیشه بس حتما هر برتو مطلوبی به آیینه ی اول میخورد.

حالا ادعا میکنیم اگر بخواهیم نور را به نقطه ی مقصد برسانیم باید حتما در حرکت اول پرتو را به وسط آیینه ی اول بتابانیم. با برهان خلف اثبات میکنیم. فرض کنید بتوانیم نور را به مقصد برسانیم ولی در حرکت اول نور را به نقطه ای با فاصله ی e (بخوانید اپسیلون :) ) از وسط آیینه ی اول بتابانیم. واضح است که e < 1. (مِن باب دوستان گیر باید عرض کنم نمی توان نور را به لبه ی آیینه تاباند چون در آن صورت معلوم نیست نور به چه شکل بازتاب میشود i.e نمیتوان در نقطه ی لبه خطی به آیینه عمود کرد و بعد جهت بازتاب را تعیین کرد.) حالا بعد از بازتاب نور روی محور ایکس ها به چه نقطه ای میخورد ؟! به نقطه ای با فاصله ی 2e از (4,0) !! آیا بعد از بازتاب به آیینه ی ۱ برخورد خواهد کرد ؟! خیرچون در مسیر بازگشت وقتی به ارتفاع ۲ میرسد در مولفه ی x در نقطه ای با فاصله ی ۳e از (6,2) خواهد بود. چون e<1 پس نمیتواند دوباره با آیینه ی اول برخورد کند (از آنجایی که آخر آیینه ی اول (3,2) است) . با استدلالی مشابه میتوان گفت اگر پرتو نور برای اولین بار به ارتفاع $2^i$ برسد با وسط آیینه ی iام فاصله ی $2^i$/2 در e دارد پس حتما به آیینه ی i ام برخورد میکند و وقتی دوباره به محور ایکس ها میرسد با نقطه ی (۰,$2*2^i-1$) فاصله ی دو به توان در e دارد. این یعنی با نقطه ی مقصد مقدار مثبتی فاصله خواهیم داشت پس نمی توانسته ایم به مقصد برسیم و حتما باید نور را به وسط آیینه ی اول یعنی با زاویه ی ۴۵ درجه بتابانیم. ( میشد تمیز تر با استقرا گفت دیگه نشد شرمنده ضمنا بابت این که بلد نیستم ریاضیی بنویسم هم معذرت میخوام )

آهای تو ! آره با توام ! آره خود شما دوست عزیز ! مثبت بده ;)