به نام خدا

گزینه 3 درسته.

ایدش اینجوریه که باید اعداد آخر هر سطر و ستون معلوم بشه تا کل جدول رو بتونیم به طور یکتا تعیین کنیم. خونه پایین-چپ جدول که 5ه. هرکدوم از 4 خونه ی اول سطر آخر و 4 خونه ی آخر سطر اول رو، به ${8 \choose 4}$ طریق میشه انتخاب کرد.

واسه سطر ها میگیم چرا، واسه ستون ها به طور مشابه معلوم میشه:

فرض کنید $a_i$ شماره بزرگترین سطری باشه که آخرین عددش $i$ه. یعنی عدد آخر سطر هایی که شمارشون از اعداد طبیعی بازه $(a_{i-1},a_i]$ بود، $i$ه.($a_0=0$) اگه $a_i$ صفر بود یعنی هیچ سطری عدد $i$ رو نداره و همچینین سطر هایی که شمارشون عضو اعداد طبیعی بازه $(a_4,5]$ بود رو هم 5 می ذاریم.واضحه که $a_1 \le a_2 \le a_3 \le a_4 \le 4$ «*» پس مسئله رو متناظر می کنیم به تعداد جواب های صحیح و نامنفی معادله $b_0+b_1+b_2+b_3+b_4=4$ به این صورت که به ازای هر جواب معادله $j$ رو می ذاریم 0 و $i$ رو می ذاریم 1 و تا زمانی که $b_j$ بزرگتر از 0 بود، $a_i$ رو می ذاریم $j$ و زمانی که $b_j$ برابر 0شد، $j$ رو یکی اضافه می کنیم.

هر جواب این معادله یه حالت واسه $a_1$ تا $a_4$ به ما میده و هر حالت $a_1$ تا $a_4$ یه جواب واسه معادله(به ازای هر $a_i$، $b_{a_i}$ رو یک واحد افزایش میدیم.) پس تعداد جواب معادله که برابر $\binom{4+5-1}{4}$ه با تعداد حالات مختلف واسه $a_1$ تا $a_4$ برابره.

بعد از تعیین اعداد آخر هر سطر و ستون میایم به ازای هر $i$ که $1 \le i \le 5$ توی خونه هایی که هنوز عددشون معلوم نشده و عدد آخر سطر یا ستونشون برابر $i$ه رو $i$ قرار میدیم.

مثلن فرض کنید اعداد آخر ستون ها به ترتیب برابر $2,3,3,5$ و اعدا آخر سطر های برابر $1,1,3,4$ باشه. اون وقت جدول متناظر با این اعداد این شکلیه:

C:\fakepath\Untitled.png

اینجوری به ازای هر حالت اعداد سطر و ستون آخر یک جدول زیبای 5 در 5 داریم(شروط 1 و 2 که واضحن برقراره، شرط 3 رو تو نامعادله «*» در نظر گرفتیم و شرط 4 هم به این دلیل برقراره که تو روش ما اگه عدد $i$ توی خونه ای مثل $(x,y)$بیاد یا تمام اعداد سطر $x$ کوچکتر یا مساوی $i$ هستند یا تمام اعداد ستون $y$) و واضحه که هر جدول زیبای 5 در 5 یک حالت اعداد سطر و ستون آخر رو معرفی می کنه.

پس جواب برابر${\binom{8}{4}}^{2}$ه.