من دوتا ایده میگم که یکیش واسه خودم نیست:

ایده‌ی دادگرنیا البته نوشته‌ی منه ها مطمئن نیستم ۱۰۰٪ این باشه.

به نقاطی که درونی نیستند، بیرونی می‌گیم.

شمارش۱: هر نقطه بیرونی باید نقطه‌ی ابتدا و یا انتهای یک خط باشه، پس تعداد نقاط بیرونی حداکثر $2n$ هست.

حال پوش محدب شکل رو در نظر بگیرید. هر راس پوش محدب نقطه‌ی ابتدا و یا انتهای اون دو خطی که باعث ایجاد شدن اون راس شدن از اون پوش محدب هست. پس ما حداقل به تعداد راس‌های پوش محدب توی شمارش ۱ راس تکراری شمردیم. چون پوش محدب حداقل ۳ راس داره پس حداقل ۳ تا راس تکراری شمردیم.

پس حداکثر تعداد نقاط بیرونی برابر با $2n-3$ هست.

چون تعداد کل نقاط برابر با $\frac{n^2-n}{2}$ هست، پس نتیجه میگیریم که حداقل $\frac{n^2-n}{2}-2n+3 = \frac{(n-2)(n-3)}{2}$ نقطه‌ی درونی داریم.

ایده‌ی خودم

به نقاطی که ابتدا ویا انتهای حداقل یک خط هستند، بد میگیم.

چون هر خط یه نقطه‌ی ابتدا و یه نقطه‌ی انتها داره، پس تعداد این نقاط بد حداکثر 2n هست.

از طرفی هر نقطه‌ی غیر بدی نقطه‌ی درونی هست. چون بد نیست، پس ابتدا و انتهای دو خطی که اینو ایجاد کردن نیست، پس در هر دو خط دو طرفش نقطه وجود داره پس درونی هست.

حالا اگه ثابت کنیم تعداد نقاط بد حداکثر برابر با $2n-3$ هست، چون تعداد کل نقاط برابر با $\frac{n^2-n}{2}$ هست، پس اگه ثابت کنیم اونو نتیجه میگیریم که حداقل $\frac{n^2-n}{2}-2n+3 = \frac{(n-2)(n-3)}{2}$ نقطه‌ی درونی داریم.

حالا اثباتش:

استقرا می‌زنیم. برای $n = 3$ حکم بدیهی هست. فرض می‌کنیم برای $n=k$ حکم درست باشه و نتیجه میگیریم برای $n=k+1$ نیز حکم درست است.

چون تعداد نقاط بد حداکثر $2n$ هست، پس طبق لانه کبوتری خطی وجود داره که حداکثر دوتا نقطه‌ی بد داره. این خط رو اگه حذف کنیم، بقیه‌ی خط‌ها حداکثر $2k-3$ نقطه‌ی بد دارن، حالا اگه این خطو اضافه کنیم، نقطه‌ی بد ای به بقیه‌ی خط‌ها اضافه نمیشه که برای خطی که حذفش کرده بودیم نباشه، حتی ممکنه نقطه‌ی بدی از اونها هم کم بشه که مهم نیست برای ما. خط جدید حداکثر ۲ تا نقطه‌ی بد اضافه می‌کنه پس تعداد نقاط بد در حالت جدید حداکثر برابر با $2k-3+2 = 2(k+1)-3$ هست پس گام استقرا ثابت و حکم ثابت شد.

استقرا میزنیم رو n . خط n+1 رو که میکشیم ، n تا تقاطع جدید ایجاد میشه. اولین و آخرین خطی که قطع میکنه، ۲ نقطه تقاطع جدید ایجاد شده درونی نیستن. ولی ثابت میشه که n-2 تا تقاطع دیگه با اون n-2 خط باقی مونده، یا خودشون درونی میشن یا یه نقطه ی تقاطعی که از قبل درونی نبوده رو درونی می کنن! (اثبات این یه قسمت با خودتون، اگر خواستید بگم). خود اون n تا هم طبق فرض n-2 * n-3 / 2 تا دارن. با n-2 جمع میزنیم. میشهn-1 * n-2 / 2 که حکم ثابت میشه واسه n+1!