فرض می کنیم حداکثر ۵ بازی با شرایط فوق وجود دارد حال این 10 نفر را کنار می گذاریم و10 نفر دیگر باقی می ماند و طبق فرض مسئله تعداد بازی های هر نفر باید حداقل یک باشد و همچنین نمی تواند بازی ای بین این 10 نفر دوم انجام گیرد پس باید 9 بازی یاقی مانده بین 10 نفر اول و 10 نفر دوم انجام گیرد .ولی ما 9 یال دارم و 10 نفر پس باید یکی بازی نکند که این خلاف فرض است

اگر یک گراف n راسی m (کمتر از n) یال داشته باشه حداقل n-m مولفه همبندی داره برای اثبات کافیه که با یک گراف تهی شروع کنیم هر یال که اضافه شه حداکثر 1 مولفه همبندی رو کم می کنه.اگر گراف این بازی هارو بکشیم دارای 14 یال هست پس حداقل 6=14-20 مولفه همبندی داره و در ضمن هر مولفه حداقل دو راس داره چون هر نفر حداقل 1 بازی کرده پس هیچ راس تنهایی نداریم از هر مولفه 2 راس مجاور رو انتخاب می کنیم یال های بین این راس ها بازی های مورد نظراند.

نام هر دو نفری که با هم بازی کرده اند را به شکل یک زوج مرتب مینویسیم پس 14 زوج مرتب و 28 نام خواهیم داشت. از زوج اول شروع کرده و پیش میرویم و هر جا به نامی رسیدیم که قبلا دیده ایم آن را علامت میزنیم. از آنجا که همه بازی کرده اند پس 8 علامت خواهیم داشت که حداکثر در 8 زوج پراکنده اند .حال اگر آن زوج های علامت دار را کنار بگذاریم حداقل 6 زوج(بازی) با شرایط سوال خواهیم داشت.

برای اثبات میشه گفت که این 6 تا یال اگه توی مولفه های همبندی مختلف باشن جوابمون هستن

پس باید ثابت کرد 6 مولفه همبندی داریم و اینکه توی این 6 مولفه یک مولفه ای فقط با 1 راس نداریم چون هر نفر حداقل یه بازی داشته پس کافیه ثابت کنیم 6 مولفه همبندی داریم

فرض خلف میکنیم که حداکثر 5 تا مولفه همبندی در هر حالت یالها داریم ؛ که نتیجه میشه اگر فرض کنیم در مولفه $i$ ام $ai$ تا راس هست و حداقل برای همبند بودنش $ai-1 $ یال نیاز داریم که یعنی این جمعا $ a1+..a5-5 $ یال داره که برابر 15 هست که این تناقضه چون ما 14 یال داریم پس حداقل 6 تا مولفه همبندی داریم که بیش از 1 راس دارند که میشه هر یال از هرکدومو انتخاب کرد که جواب باشه

میگه هر نفر حداقل یک بازی انجام داده (برای اینکه ۲۰ نفر حداقل یک بار بازی کنند ۱۰ بازی نیازه با نفرات متمایز) حالا میمونه ۴ تا بازی . طبق اصل لانه کبوتری در بدترین حالت ۸ نفر متمایز این بازی ها را انجام دادند پس ۱۲ نفر از ۲۰ نفر باقی می ماند که این ۱۲ نفر فقط در یک بازی بوده اند . به قول دبیر حسابانمون مسئله پوکید : )