برای هر حالت صف، تعداد زوج مرتب‌های $\langle i, j \rangle$ که عنصر $i$اُم بزرگتر از عنصر $j$ اُم هست رو تعداد «نابجایی»های اون صف می‌نامیم. مثلاً در صف مرتب صعودی صفر نابجایی وجود داره و در صف مرتب نزولی از عناصر ۱ تا $n$، دقیقاً $n \choose 2$ نابجایی.

با هر تعویض جای دو نفر، نابجایی صف فرد واحد تغییر می‌کنه (اثبات در پایین)؛ پس زوجیتش عوض می‌شه. در نتیجه برای این‌که به زوجیت حالت اولیه‌ی صف هم برسیم، باید حتماً زوج بار تعویض انجام بدیم.

اثبات این‌که هر تعویض (Swap) دقیقاً یک واحد نابجایی رو عوض می‌کنه:

فرض کنیم عنصر $i$اُم (که مقدارش $a_i$ هست) با $j$اُم (که مقدار $a_j$ هست) عوض می‌شه و $i \lt j$. برای تمام $k$هایی که $k\lt i$ یا $k \gt j$ که خب ترتیب نسبی عنصر $k$اُم با اون دو تا بنده‌خدا عوض نمی‌شه (مثلاً اگه قبلاً سمت چپ این دو تا بوده، هنوزم سمت چپ جفت‌شون هست). می‌مونه عناصر بین این دو تا یعنی $i \lt k \lt j$. اگه $a_k$ از جفت $a_i$ و $a_j$ بزرگتر یا از جفت‌شون کوچیکتر باشه، هم‌چنان براش فرقی نمی‌کنه که جای این دو تا عوض بشه.

پس تنها حالت مهم حالتیه که مقدار $a_k$ بین مقادیر $a_i$ و $a_j$ باشه. تو این حالت با انجام تعویض گفته شده، هم نابجایی بین $a_i$ و $a_k$ عوض می‌شه، هم نابجایی بین $a_k$ و $a_j$. یعنی برای هر چنین $k$ ای، مجموع کل نابجایی‌ها زوج بار عوض می‌شه. نابجایی بین خود $a_i$ و $a_j$ هم که عوض می‌شه؛ پس در مجموع شاهد فرد تا تغییر در نابجایی کل صف خواهیم بود.