رنگ‌ها را به‌‌این صورت تبدیل به شماره می‌کنیم: نارنجی = صفر، زرد = یک، بنفش = دو. فرمول انتخاب رنگ برای هر قطاع دایره سوم باقی‌مانده‌ی تقسیم «شش منهای مجموع قطاع‌های زیرینش» بر ۳ خواهد بود.

الف) رنگی که بیشتر از همه در دایره ببعی تکرار شده را «رنگ قشنگه» می‌نامیم. گاوی رنگِ منتسب به باقی‌مانده‌ی تقسیم «سه منهای رنگ قشنگه» بر ۳ را «رنگ ناقلا» نامیده و کلّ دایره دوم را به رنگ ناقلا در می‌آورد.
اثبات: طبق اصل لانه‌کفتری رنگ قشنگه حداقل $n$ بار در دایره اول تکرار شده است. هر کدام از این حداقل $n$ قطاع در هر چرخشی که ببعی روی دایره دوم بکند، در دایره سوم یک قطاع به رنگ صفر را خواهند ساخت.

ب) ببعی یک قطاع دلخواه را انتخاب کرده و آن را «قطاع شروع» می‌نامد (گوشه‌اش را یک کوچولو گاز می‌گیرد که علامتش بماند). سپس قطاع شروع را به رنگ صفر (نارنجی) رنگ می‌کند. بعد در جهت عقربه‌های ساعت حرکت می‌کند و هر قطاع جدید را به رنگِ باقی‌مانده‌ی تقسیم «رنگ قطاع قبلی به‌علاوه یک» بر ۳ رنگ می‌کند. یعنی در پایان به‌صورت کاملاً موزون شاهد نارنجی، زرد، بنفش، نارنجی، زرد، بنفش، ... خواهیم بود.
پس از رنگ‌آمیزیِ گاوی، در مرحله آخر ببعی یکی از قطاع‌های گاوی را به دلخواه یه کوچولو گاز می‌گیرد. سپس قطاع‌های گاز زده‌ی هر دو دایره را بر هم منطبق می‌کند و در ذهنش دایره سوم را تجسم می‌کند. آن‌وقت ببعی روی قطاع‌هایی از دایره دوم که زیر یک قطاع نارنجی در دایره سوم قرار می‌گیرند یک ۱۰۰ کوچولو با مداد می‌نویسد. پس از آن، در گام بعدی* ببعی دایره‌ی دوم را به اندازه‌ی یک قطاع ساعتگرد می‌چرخاند و همین تجسم را انجام داده، سپس روی قطاع‌هایی از دایره دوم که زیر یک قطاع نارنجی از دایره سوم قرار می‌گیرند یک ۱۰۱ با مداد می‌نویسد. نهایتاً یک بار دیگر به‌اندازه‌ی یک قطاع ساعتگرد دایره دوم را چرخانده و مشابهاً روی قطاع‌های زیر نارنجی از دایره دوم ۱۰۲ می‌نویسد.
واضح‌ست که در پایان این‌ سه گام، هر قطاع دایره دوم با هر کدام از سه رنگ بازی دقیقاً یک‌بار منطبق شده پس رویش دقیقاً یکی از اعداد ۱۰۰ یا ۱۰۱ یا ۱۰۲ نوشته شده است. با عنایت به اصل لانه کفتری یکی از این اعداد ۱۰۰ یا ۱۰۱ یا ۱۰۲ پس حداقل $n$ بار تکرار شده است. پس ببعی کافی‌ست دایره دوم را به همان اندازه چرخانده و به مقصود برسد!

سلام

پاسخ رسمی کمیته ی المپیاد کامپیوتر:

الف)

پس از رنگ آمیزی دایره ی شماره 1 توسط ببعی، طبق اصل لانه کبوتری رنگی وجود دارد که دست کم $n$ قطاع به آن رنگ در آمده باشد. اگر این رنگ، نارنجی، زرد یا بنفش باشد، به ترتیب کافی است گاوی تمام قطاع های دایره ی شماره 2 را به رنگ نارنجی، بنفش یا زرد در بیاورد. با این کار در دایره ی شماره 3 دست کم $n$ قطاع نارنجی تولید خواهد شد.

ب)

در ابتدا ببعی برای هر رنگ، $n$ قطاع از دایره ی شماره 1 انتخاب می کند و آن ها را به آن رنگ در می آورد. فرض کنید گاوی در رنگ آمیزی خود، $x$ قطاع به رنگ زرد، $y$ قطاع به رنگ بنفش و $n-x-y$ قطاع را به رنگ نارنجی درآورده باشد. $3n$ انتخاب ممکن برای چرخش دایره ی شماره 2 برای ببعی وجود دارد. تعداد قطاع های نارنجی ای که در مجموع این $3n$ حالت در دایره ی شماره 3 پدید خواهند آمد برابر است با:

$$(x × n)+(y×n)+((n-x-y)×n) = 3 × n^2$$

پس طبق اصل لانه ی کبوتری، انتخابی برای ببعی وجود دارد که در آن حالت دست کم

$$\lceil \frac{3n^2}{3n} \rceil = n$$

قطاع از دایره ی شماره 3 به رنگ نارنجی در بیاید.

خدمت عزیزان سلام علیک من پ-م هستم از شهر مشهد استان خراسان رضوی من تازه وارد خانواده صمیمی کاهو شده ام و با اقای کامکاری فامیل هستم من از عزیزان تقاضا دارم برای المپیاد کامپیوتر چه کتابی معرفی میکنید و آیا پی دی اف کتاب های المپیاد کامپیوتر در اینترنت پیدا میشود 2-برادر من استاد کامپیوتر هستند ومن از تعاریفی جناب اقای کامکاری میکردند و با توجه به علاقه ام این سایت را برگزیدم 3- اگر کتاب مهمی در سطح عامی است یعنی کتاب مقدماتی لطفا به من اطلاع دهید

ب) رنگ مکمل نارنجی, زرد , بنفش را به ترتیب به صورت نارنجی, بنفش, زرد تعریف میکنیم. واضح است که اگر هر رنگ روی رنگ مکملش قرار گیرد رنگ نارنجی را در دایره ی سوم ایجاد میکند و درغیر اینصورت رنگ نارنجی ایجاد نمیشود.

ببعی دایره ی 1 را بدین صورت رنگ میکند که از هر رنگ دقیقا n قطعه وجود داشته باشد. پس از رنگ آمیزی گاوی, ببعی به 3n طریق میتواند دایره ی 2 را روی دایره ی یک قراردهد.

فرض کنیم دایره ی 2 aتا قطاع نارنجی, bقطاع زرد و cقطاع بنفش داشته باشد. داریم: a+b+c=3n

مجموع تعداد حالاتی که هر قطعه روی رنگ غیرمکلش قرار گرفته باشد برابر میشود با:

n(a+b)+n(b+c)+n(a+c)=6n^2

طبق اصل لانه کبوتری انتخابی برای ببعی وجود دارد که حداقل "سقف 6n^2 تقسیم بر 3n " یعنی 2n قطعه روی رنگ نامکملشان قرار گیرند, و درنتیجه حداقل 2n رنگ غیرنارنجی در دایره ی 3 ایجاد شود. یعنی حداکثر n قطعه نارنجی در دایره ی 3 ایجاد شود.