مثلا فرض کن میخوایم بین اعداد 1تا 100 یه عدد به صورت تصادفی انتخاب کنیم. تمام حالات ممکن رو در نظر بگیر. میدونیم این حالات همه ی اعداد یک تا صد رو شامل میشه و در کل 100 حالت برای انتخاب داریم. حالا احتمال آمدن عدد $x$ در خود $x$ ضرب میکنیم. پس میشه گفت امید ریاضیش به صورت زیر است:

$\frac{1}{100}\times 1+\frac{1}{100}\times 2+ \frac{1}{100} \times 3+...+ \frac{1}{100}\times 100= \frac{1}{100}\times(1+2+...+100)= \frac{1}{100}\times(\frac{100 \times 101}{2})= \frac{101}{2}=50.5$

این یه مثال ساده بود برای فهم بهتر. یعنی امید ریاضی انتخاب یک عدد تصادفی بین یک تا صد 50.5 است.

این سوال سوال قشنگیه برای تمرین :

http://opedia.ir/%D8%B3%D9%88%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%BE%DB%8C%D8%A7%D8%AF/%D9%85%D8%B1%D8%AD%D9%84%D9%87%E2%80%8C%DB%8C_%D8%AF%D9%88%D9%85/%D8%AF%D9%88%D8%B1%D9%87%E2%80%8C%DB%8C_%DB%B2%DB%B7/%D8%B3%D9%88%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%AA_%DB%B1%DB%B8_%D9%88_%DB%B1%DB%B9

فرض کن احتمال زدن یک گل در هر بازی توسط رونالدو ۰.۵، احتمال زدن دو گل توسط رونالدو در هر بازی ۰.۲ و احتمال زدن سه گل توسط توسط رونالدو در یک بازی ۰.۲ باشه. (احتمال اینکه گل نزنه رو ۰.۱ و احتمال اینکه بیش از سه گل بزنه رو هم ۰ در نظر می‌گیریم.)

با توجه به اطلاعات بالا مقدار مورد انتظارمون از گل‌های زده‌ی رونالدو در یک بازی چقدره؟

$$0.5\times1+0.2\times2+0.2\times3=1.5$$

یعنی مقدار موردانتظار ما از گل‌های زده‌ی رونالدو در هر بازی ۱.۵ گلِ زده است.

توی انگلیسی به این مقداری که ما بدست آوردیم مقدار مورد انتظار (expected value) گفته می‌شه ولی توی فارسی مترجم‌های بزرگوار(!) اسمش رو گذاشتن امید ریاضی!

برای حل مسائل امید ریاضی مرحله۱ و مرحله۲ نیاز داری تا قضیه‌ی زیر رو بلد باشی:

امید ریاضی جمع چند متغیر برابر با جمع امید ریاضی تک‌تک آن متغیرها است.

و برای تمرین پیشنهاد می‌کنم این سوال رو حل کنی.

داداش منم خیلی گشتم... بهترین منبع اینه ! امیدوارم مفید بوده باشه...