$(n\times m)(n\times m-n-m+1)+\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-2} (n-1-j)(i\times j)(m-1-i)j+\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{m-2} (m-1-j)(i\times j)(n-1-i)j$

(احتمالا ساده تر هم میشه!!)

اثبات:

تعداد مستطیل های راست برابر تعداد حالات انتخاب دو نقطه در شبکه که در یک سطر یا ستون قرار ندارند است. زیرا میتوان این دو نقطه را دو نقطه ی روبه رو ی هم در مستطیل در نظر گرفت. پس در ابتدا میتوانیم از تمام نقاط یک نقطه انتخاب کنیم ($n\times m$ حالت) ، سپس از نقاطی که بر روی سطر یا ستون این نقطه قرار ندارند، نقطه ی دیگری انتخاب کنیم($n\times m-n-m+1$ حالت). که در کل تعداد این نوع مستطیل ها برابر $(n\times m)(n\times m-n-m+1)$ میشود.

حال میخواهیم تعداد مستطیل های کج را هم حساب کنیم. برای این کار میدانیم دو نقطه ی روبه روی هم در مستطیل بر روی یک سطر یا ستون قرار دارند و دو نقطه ی دیگر هر یک در یک طرف این سطر یا ستون انتخاب میشوند. از طرفی اگی فاصله ی بین این دو نقطه برابر $j$ باشد، آنگاه دو نقطه ی دیگر این مستطیل باید در دو طرف این سطر یا ستون طوری قرار داشته باشند که در فاصله ی بین این دو هم قرار داشته باشند. به عبارتی دیگر اگر این دو نقطه (مثلا) در یک سطر اشتراک داشته باشند و در بالای این سطر $i$ سطر دیگر قرار داشته باشد (در سطر $i+1$ام قرا داشته باشند)، آنگاه برای انتخاب یک نقطه در بالای این سطر $i\times j$ حالت و برای انتخاب یک نقطه در پایین این سطر $(n-1-i)j$ حالت وجود دارد. در نتیجه از آنجا که در یک سطر، تعداد جفت نقطه هایی که فاصله ی $j$ دارند برابر $m-1-j$ است، پس در کل برای هر دونقطه در سطر $i+1$ام که فاصه ی $j$ دارند $(i\times j)(n-1-i)j$ حالت وجود دارد و از آنجا که $m-1-j$ جفت با این خصوصیات داریم پس در کل برای این قسمت $(m-1-j)(i\times j)(n-1-i)j$ حالت وجود دارد. پس تعداد کل حالات انتخاب یک مستطیل که دو راس روبه روی آن بر روی یک سطر قرار دارند برابر $\sum_{j=0}^{m-2} (m-1-j)(i\times j)(n-1-i)j$ است. همین استدلال برای دو نقطه در یک ستون هم بکار میرود. پس در کل جواب مسئله برابر مجموع تمام این قسنت ها است. یعنی تعداد مسنطیل های راست، تعداد مستطیل های کجی که دونقطه بر روی یک سطر دارند و تعداد مستطیل های کجی که دو نقطه بر روی یک ستون دارند.