الف:

ادعا میکنیم مصطفی میتواند با معین تبانی کند بطوری که امیر ببازد.

میگوییم بازی در حالت ($x,y,z$) است، اگر و تنها اگر آخرین شکلات خورده شده، شکلات مختصات ($x,y,z$) باشد. برای مثال در ابتدا در حالت (1,1,1) هستیم.

میگوییم حالت بازی $z$-خوب است اگر آخرین شکلات خورده شده ($x,y,z$) باشد. (یعنی اینکه حالت بازی چند-خوب است تنها بستگی به مولفه ی سوم مختصات شکلات دارد)

به یک حالت جدید میگوییم اگر این حالت حالت $z$-خوب باشد و هیچکدام از حالات قبلی که به آن رسیده ایم $z$-خوب نباشد.

حال یک استراتژی برای مصطفی و معین میگوییم که تمام حالات آن، پس اینکه همه ی افراد حرکات خود را انجام دادند (یعنی پس از حرکت امیر) جدید باشد.

استراتژی به این صورت است:

در هر نوبت مصطفی و معین به این صورت عمل میکنند که مولفه های $x$ و $y$ مختصات آخرین شکلات خورده شده با هم برابر باشد و همچنین هر کدام از آنها یکی از اعداد 1 و 2 باشد. برای اینکار طوری بازی میکنند اگر در مرحله ی $i$ام باشیم و $i$ فرد باشد، در حالت ($1,1,z$) باشیم و اگر $i$ زوج باشد در حالت $(2,2,z)$ . همچنین به ازای تمام حالت $x$-خوبی که قبلا به آنها بر خوردیم، شکلات های $(1,1,x)$ و $(2,2,x)$ خورده شده باشند.در ابتدا در حالت (1,11) هستیم و مصطفی و معین شکلات های (2,1,1) و (2,2,1) را میخورند و امیر مجبور است بازی را به حالتی جدید یعنی (2,2,2) برساند (چون حالت (2,2,2) حالتی 2-خوب است و ما قبلا تنها حالت 1-خوب را دیده ایم) همیچنین 2 عددی زوج است و ما در حالت (2,2,2) هستیم. پس تناقضی در استراتژی گفته شدمان به وجود نمی آید. به همین ترتیب در مرحله ی $i$ ام معین مصطفی اینگونه عمل میکنند:

1. اگر $i$ فرد بود یعنی در حالت $(1,1,z)$ هستیم. پس معین و مصطفی شکلات های $(2,1,z)$ و $(2,2,z)$ را میخورند. واضح است این دو شکلات قبلا خورده نشده اند. چون حالت $(1,1,z)$ یک حالت جدید است. پس قبلا نباید هیچ کدام از حالات $(2,1,z)$ و $(2,2,z)$ این را دیده باشیم. از آنجا که تمام شکلات های $(1,1,k)$ و $(2,2,k)$ بطوری که قبلا حالت $k$-خوبی دیده ایم خورده شده است، پس امیر مجبور است کاری کند که حالت بازی جدید شود. از طرفی ما هر دو حالت$(1,1,z)$ و $(2,2,z)$ را دیده ایم. پس دوباره نمیتوانیم به این حالت برسیم. همچنین در مرحله ی $i+1$ام در حالت $(2,2,x)$ هستیم و $i+1$ زوج است.

2. اگر $i$ زوج بود یعنی در حالت $(2,2,z)$ هستیم. پس معین و مصطفی شکلات های $(1,2,z)$ و $(1,1,z)$ را میخورند. واضح است این دو شکلات قبلا خورده نشده اند. چون حالت $(2,2,z)$ یک حالت جدید است. پس قبلا نباید هیچ کدام از حالات $(1,2,z)$ و $(1,1,z)$ این را دیده باشیم. از آنجا که تمام شکلات های $(1,1,k)$ و $(2,2,k)$ بطوری که قبلا حالت $k$-خوبی دیده ایم خورده شده است، پس امیر مجبور است کاری کند که حالت بازی جدید شود. از طرفی ما هر دو حالت$(1,1,z)$ و $(2,2,z)$ را دیده ایم. پس دوباره نمیتوانیم به این حالت برسیم. همچنین در مرحله ی $i+1$ام در حالت $(1,1,x)$ هستیم و $i+1$ فرد است.

در نتیجه از آنجا که حالات جدید محدود (17 تا) هستند، پس بعد از مدتی امیر نمیتواند شکلاتی بخورد (چون حالت جدید وجود ندارد). پس اگر مصطفی و معین به این استراتژی بازی کنند امیر میبازد.

ب:

ادعا میکنیم اینکار ممکن نیست. در واقع مصطفی میتواند به گونه ای بازی کند که هیچگاه نبازد.

لم1: در مرحله ی $i$ ام، اگر در حالت $(x,y,z)$ باشیم، داریم : ($(x+y+z)\equiv i\pmod 2$)

اثبات: با استقرا حکم را ثابت میکنیم. حکم به ازای $i=1$ درست است زیرا: $(1+1+1)\equiv 1 \pmod 2$

حال فرض کنید حکم به ازای $i-1$ صحیحی است. ثابت میکنیم حکم به ازای $i$ صحیح است. میدانیم اگر در مرحله ی قبل در حالت $(x,y,z)$ بوده باشیم ($(x+y+z)\equiv (i-1)\pmod 2$)، از طرفی میدانیم زوجیت $i-1$ با $i$ متفاوت است. پس به عبارتی زوجیت $x+y+z$ با $i$ متفاوت است. از طرفی از آنجا که به هر کدام از $x$، $y$ و $z$ یک واحد اضافه میشود، پس در این مرحله، زوجیت هر سه تغییر میکند. پس زوجیت مجموع مولفه ها در این حالت با حالت قبل نا مساوی است. پس زوجیت مجموع مولفه ها در این حالت با زوجیت $i$ مساوی است و حکم ثابت میشود.

میگوییم حالت بازی $(y,z)$-خوب است اگر آخرین شکلات خورده شده ($x,y,z$) باشد. (یعنی اینکه حالت بازی چند-خوب است تنها بستگی به مولفه دوم و سوم مختصات شکلات دارد)

به یک حالت جدید میگوییم اگر این حالت حالت $(y,z)$-خوب باشد و هیچکدام از حالات قبلی که به آن رسیده ایم $(y,z)$-خوب نباشد.

حال یک استراتژی برای مصطفی میگوییم که تمام حالات آن، پس اینکه همه ی افراد حرکات خود را انجام دادند (یعنی پس از حرکت امیر) جدید باشد.

استراتژی به این صورت است:

فرض کنید به یک حالت حالت پرت بگوییم اگر به صورت $(1,y,z)$ باشد و $(y+z+1)\equiv 0 \pmod 2$ یا به صورت $(2,y,z)$ و $(y+z+2)\equiv 1 \pmod 2$ .

در هر نوبت مصطفی به این صورت عمل میکند که مولفه ی $x$ مختصات آخرین شکلات خورده شده یکی از اعداد 1 و 2 باشد. برای اینکار طوری بازی میکند اگر در مرحله ی $i$ام باشیم و $i$ فرد باشد، در حالت ($1,y,z$) باشیم واگر $i$ زوج باشد در حالت $(2,y,z)$ باشیم. همچنین به ازای تمام حالت $(y,z)$-خوبی که قبلا به آنها بر خوردیم، شکلات های $(1,y,z)$ و $(2,y,z)$ خورده شده باشند علاوه بر این هر دفعه پس از انجام نوبت نفر دوم (معین) در حالتی پرت باشیم.در ابتدا در حالت (1,1,1) هستیم و مصطفی شکلات (2,1,1) را میخورد و امیر و معین مجبورند است بازی را به حالتی جدید یعنی (2,2,2) برساند (چون حالت (2,2,2) حالتی (2,2)-خوب است و ما قبلا تنها حالت (1,1)-خوب را دیده ایم) همیچنین 2 عددی زوج است و ما در حالت (2,2,2) هستیم. پس تناقضی در استراتژی گفته شدمان به وجود نمی آید. به همین ترتیب در مرحله ی $i$ ام معین مصطفی اینگونه عمل میکنند:

1. اگر $i$ فرد بود یعنی در حالت $(1,y,z)$ هستیم. پس مصطفی شکلات $(2,y,z)$ را میخورد. این شکلات قبلا خورده نشده. چون حالت $(1,y,z)$ یک حالت جدید است. از طرفی حالت $(2,y,z)$ حالتی پرت نیست. چون با توجه به لم1 داریم $(y+z+2)\equiv 0 \pmod 2$ ، پس از آنجا که پس از پایان کار نفر سوم به حالتی جدید میرسیم و پس از پایان کار نفر دوم به حالتی پرت، پس این شکلات قبلا خورده نشده است. از طرفی میبینیم که پس از حرکت معین داریم:$(y+z+2)\equiv 1 \pmod 2$ ، پس بعد ازحرکت معین به حالتی پرت میرسیم. از آنجا که تمام شکلات های $(1,r,k)$ و $(2,r,k)$ بطوری که قبلا حالت $(r,k)$-خوبی دیده ایم خورده شده است، پس امیر مجبور است کاری کند که حالت بازی جدید شود. از طرفی ما هر دو حالت$(1,y,z)$ و $(2,y,z)$ را دیده ایم. پس دوباره نمیتوانیم به این حالت برسیم. همچنین در مرحله ی $i+1$ام در حالت $(2,u,x)$ هستیم و $i+1$ زوج است.

2. اگر $i$ زوج بود یعنی در حالت $(2,y,z)$ هستیم. پس مصطفی شکلات $(1,y,z)$ را میخورد. با استدلالی مانند حالت قبل این شکلات قبلا خورده نشده است و همچنین بعد از حرکت معین به حالتی پرت میرسیم. از آنجا که تمام شکلات های $(2,r,k)$ و $(1,r,k)$ بطوری که قبلا حالت $(r,k)$-خوبی دیده ایم خورده شده است، پس امیر مجبور است کاری کند که حالت بازی جدید شود. از طرفی ما هر دو حالت$(2,y,z)$ و $(1,y,z)$ را دیده ایم. پس دوباره نمیتوانیم به این حالت برسیم. همچنین در مرحله ی $i+1$ام در حالت $(1,u,x)$ هستیم و $i+1$ فرد است.

در نتیجه از آنجا که حالات جدید محدود ($17^2$ تا) هستند، پس بعد از مدتی امیر یا معین نمیتواند شکلاتی بخورد (چون حالت جدید وجود ندارد). پس اگر مصطفی به این استراتژی بازی کنند امیر یا معین میبازد.