فرض کنیم سرعت ماشین ها یک دور بر ثانیه باشد،هر با که دوتا ماشین به هم میخورند مثل این میمونه که از کنار هم رد میشن پس بعد از یک دقیقه ماشین ها درمکان اولیه خودشون اند(چون موقعیتشون نسبت به هم تغییر نمیکنه).اگر که ما جهت ماشین هارو بدونیم جهت قبلی اون ها رو در همین مکان یگتا تعیین می شه.چون حالات برای جهت ها محدود است یکی از حالت ها تکرار میشه که با زگشت از اون به حالت اولیه میرسیم.

اگر سرعت ، یک دور در ثانیه باشد ، میتوان اینگونه گفت که در ابتدای کار هر ماشین در یک پارکینگ قرار دارد به طوری که ماشین i در پارکینگ ai میباشد .

میدانیم در پایان هر ثانیه ، هر ماشین دقیقن در یک پارکینگ قرار دارد (نه لزومن پارکینگ با شماره خودش) و جهت آنها هم همواره مطابق با حالت ابتدایی است (چون میتوان فرض کرد به جای برخورد با هم از کنار هم عبور کنند)، اگر n ماشین داشته باشیم ، پس از !n ثانیه حتمن دو حالت بوده اند که آرایش ماشین ها در پارکینگ ها با هم برابر باشد ، به عبارتی طبق اصل لانه کبوتری اگر بیش از !n جایگشت داشته باشیم دو جایگشت تکراری بین آنها وجود دارد. خب میدانیم جایگشت A دوبار در این !n ثانیه آمده . حال اولین جایگشت به نام B را در نظر میگیریم (در ثانیه صفرم).

کافی است ثابت کنیم جایگشت A را میتوان به جایگشت B تناظر داد .

میدانیم هر ثانیه که میگذرد روند مشابهی طی میشود تا ماشین ها در جایگاه ها قرار بگیرند .

فرض کنید xi = شماره ماشین موجود در خانه i ام در جایگشت x

اگر پس از k ثانیه xi در خانه ی j ام باشد ، به همان منوال yi پس از k ثانیه حتما در خانه j ام خواهد بود .(البته همه اینها در صورتی درست است که جهت xi و yi یکسان باشد)

بنابراین اگر جایگشت A پس از r ثانیه به صورت A باشد، جایگشت B هم به همان منوال پس از r ثانیه به جایگشت B تبدیل میشود. در نتیجه پس از r ثانیه ماشین ها در مکان اولیه شان با همان جهت اولیه خواهند بود.