سلام اول ببخشید اگه خوب توضیح ندادم ولی فک کنم اینجوریه حلش اول سوال رو یکم ساده تر میکنیم میگیم که فرض کنید n لامپ داریم و k تا متوالی انتخاب کنیم پیدا کنید به اضای چه k هایی با روشن کردن تمام حالت های انتخاب k کارت متوالی همه لامپ ها روشن میشوند جواب این سوال خیلی بدیهیه که میشه k های فرد چون هر لامپ به اندازه k بار روشن میشه اکه فرد بار هم روشن شه به شرایط داخواه میرسه پس اکه بتونینم جوری قسمت بندی کنیم که با هر انتخاب k لامپ فرد تا قسمت کامل روشن شه برای راحتی کار چند تا متغیر معرفی میکنم x این متغیر برابر n تقسیم بر تمام 2 هایی است که تو تجزیش وجود داره y این متغیر برابر k تقسیم بر تمام 2 هایی است که تو تجزیش وجود داره l این متغیر برابر تقسیم n بر x است پس جواب نهایی تعداد اعداد کم تر از n است که توان 2 داخلشون از توان 2 در n کم تره m این متغیر برابر تقسیم k بر y است دو حالت داریم l => m که در این حالت میتوان با تقسیم لامپ ها به دسته های y تایی از انجا که k / m = y که عددی فرد است میتوان این حالت را به صورتی که اول گفتم حل کنیم حالت دوم l< m این حالت را میتوانیم با زوجیت راحت حل کنیم میاین میگیم که l | k پس اگر هر l خونه یگ لامپو علامت بزنی تو هر انتخاب k لامپ تعداد زوجی لامپ علامت زده انتخاب میشه یعنی زوجیت این لامپ ها همیشه ثابت میمونه چون تعدادشون فرده و هر بار زوج تا ازش تغییر رنگ میده