راسی که بیشترین درجه ی خروجی را دارد در نظر بگیرید .مثلا $v$ . ثابت کنید این راس همان $king$ در این تورنمنت است . اگر راسی مانند u وجود داشته باشد که نتوان از v با یک یال یا یک مسیر به طول 2 رسید نتیجه می توان گرفت که درجه ی راس u از درجه ی راس v بیشتر است . که این با فرض اینکه درجه ی خروجی v ماکزیمم است در تناقض است .

(جزییات اثبات کامل گفته نشده )

نام این شهر را king میگزاریم . با استقرا روی n ( تعداد شهر ها ) ثابت میکنیم . برای پایه n = 2 حکم بدیهیست . فرض استقرا: فرض میکنیم حکم برای N = k درست باشد . حکم استقرا : به ازای N= k + 1 هم درست است . گام استقرا : گرافی با k + 1 راس را در نظر بگیرید . یکی از راس ها را به دلخواه نادیده میگیریم . حال گراف باقی مانده طبق فرض king دارد . فرض کنید راسی که نادیده گرفته شد راس v است حال این راس را دوباره به گراف باز میگردانیم . اگر از king یا حداقل یکی از کسانیکه king به آنها یال دارد به v یال وجود داشته باشد که king راس مورد نظر ما است و حکم اثبات میشود و اگر نه پس V به king و تمام کسانیکه king به آنها یال داشته ، یال دارد . پس به این ها با یک حرکت میتواند برسد . و بقیه شهر ها که به king یال داشته اند طبق فرض چون king با 2 حرکت به این شهر ها میرسیده پس از شهر هایی که king به آنها یال داشته حتما به این شهر ها یال وجود دارد پس میتوان با 2 حرکت از V به این شهر ها رسید . پس V همان راس مورد نظر ما است . ببخشید یکم انشام ضعیفه :)

ثابت میکنیم که یک تورنومنت مسیر همیلتونی دارد: روی تعداد رئوس استقرا میزنیم: فرض:تورنومنت n راسی مسیر همیلتونی دارد. پایه برای n=2 بدیهی است. اثبات حکم n+1 : راس دلخواه a را حذف می کنیم ،گراف باقی مانده تورنومنت است پس فرض برقرار است.مسیر همیلتونی گراف باقی مانده را در نظر بگیریدو رئوس آن را v1,v2,v3,...vn بنامید بطوری که یالی جهت دار از vi به vi+1 وجود داشته باشد. اگر راس a به v1 یال جهت دار داشته باشد حکم اثبات میشود در غیر اینصورت v1 به a یاجهت دار دارد.اگر که a به v2 یال داشته باشد بازهم حکم برقرار است این روند را تا جایی ادامه می دهیم تا اینکه a به vi یال جهت دار داشته باشد و از vi-1 یال جهت دار به a باشدو اگر این حالت نیز اتفاق نیافتد از vn به a یال جهت دار وجود دارد که a را به آخر مسیر اضافه میکنیم.

راسی که بیشترین درجه را دارد در نظر میگیرم این راس تعدادی بچه دارد اگر تعداد این بچه ها برابر با کل تعداد راس گراف بود مسعله حل است در غیر این صورت راسی که به طور مسقیم به شاه وصل نیست را در نظر میگیریم پس این راس شاه را برده زیرا گراف کامل است اگر از یگی از بچه های شاه باخته باشد که این راس هم از شاه باخته در غیر این صورت از تمام بچه های شاه برده پس درجه ی آن از شاه بیشتر است که با فرض در تناقض است.