الف) فرناز استراتژی برد دارد. توجه کنید بازی زمانی پایان مییابد که یا هیچ دو خط عمودی متوالی، یا هیچ دو خط افقی متوالی در جدول باقی نمانده باشند که این حالت را شرط پایانی می نامیم. زیرا اگر هم دو خط افقی متوالی وجود داشته باشند و هم دو خط متوالی عمودی، این چهار خط یک مربع واحد ایجاد میکنند. و همینطور اگر مربع واحدی باقی مانده باشد، قطعا هم دو خط افقی متوالی هم دو خط عمودی متوالی وجود دارد.

حال فرض کنید خط های عمودی از چپ به راست و خطهای افقی از بالا به پایین با شماره های ۱ تا 𝑛 + ۱ شماره گذاری شده اند. سپس در هر مرحله امید اگر خط عمودی 𝑖 -ام را پاک کند، فرناز خط افقی 𝑖 -ام را پاک میکند و اگر امید خط افقی 𝑖 -ام را پاک کند، فرناز خط عمودی 𝑖 -ام را پاک میکند. با این کار امکان ندارد بعد از حرکت فرناز بازی تمام شود. زیرا هر بار که فرناز یک خط حذف میکند، مجموعه خطهای افقی و عمودی یکسان میشوند. اگر بعد از حذف فرناز بازی تمام شود، یعنی هم هیچ دو خط عمودی متوالی و هم هیچ دو خط افقی متوالی وجود ندارد. پس قبل از حرکت فرناز یا خطهای عمودی یا خطهای افقی این شرایط را داشتند و به شرط پایانی رسیدهایم. پس فرناز با این روش آخرین نفر بازی نخواهد بود و بازی را میبرد.

ب) فرناز استراتژی برد دارد. در این بخش شرط پایان نیز همانند بخش قبل است.

در این بخش فرناز تقریباً همانند بخش قبل بازی میکند (خط با شماره یکسان خطی که امید حذف کرده، حذف میکند). اما با این کار فرناز می بازد. برای این که فرناز ببرد، آخرین حرکت فرناز را در نظر بگیرید که بعد آن امید با حرکت خودش بازی را میبرد. فرض کنید در این حرکت فرناز خط افقی حذف می کند. بعد از حرکت فرناز خط های افقی و عمودی وضعیت یکسانی دارند. پس اگر با حذف یک خط میتوان به شرط پایانی رسید، هم با حذف خط افقی و هم با حذف خط عمودی میتوان این کار را کرد. پس با توجه به این که فرناز خط افقی حذف کرده است، وضعیت خط های عمودی در این حرکت تغییری نمی کنند. در نتیجه با حذف یک خط عمودی فرناز میتواند بازی را تمام کند و ببرد.

در نتیجه در این قسمت فرناز در هر مرحله اگر بتواند بازی را تمام کند، این کار را میکند. در غیر این صورت، همانند بخش قبل بازی میکند. با این روش حتماً فرناز میبرد.

سلام برای قسمت الف: می‌توان اثبات کرد که قبل از انجام آخرین حرکت بازی، دقیقا ۴ خط همچنان باقی است. (اگر بیش از چهار خط باقی باشد، خطی وجود دارد که با حذف آن، تمام خانه های جدول از بین نمی‌روند و بازی ادامه پیدا می‌کند) همچنین میدانیم در هر نوبت، زوجیت تعداد خط های موجود تغییر می‌کند. لذا از آنجایی که در ابتدای بازی (نوبت امید) تعداد زوجی خط وجود داشته است، حرکت آخر بازی را نیز همان شروع کننده بازی انجام می‌دهد (یعنی امید بازنده است). استراتژی برد نفر دوم (فرناز) چنین خواهد بود که در هر مرحله، خطی را انتخاب میکند که با حذف آن بازی تمام نشود. طبق آنچه گفته شد، همواره چنین خطی وجود خواهد داشت.

سلام الف) استراتژی برد با نقر دوم هس و استراتژی او اینطور هس که اگر خط های مربع n×n را به ترتیب شماره گذاری کنیم مانند دستگاه مختصات(مثلا چپ ترین خط عمودی ۱ باشد و راست ترین خط عمودی n+1 و همچنین پایین ترین خط افقی ۱ باشد و بالاترین n+1 ) اگر نفر اول خط عمودی(افقی) i را برداشت نفر دوم خط افقی(عمودی) i را بردارد برای اثبات این روش از استقرا قوی استفاده میکنیم پایه استقرا بدیهی است فرض استقرا :حکم را برای مربع های با طول ضلع ۱ تا n-1 درست میگیریم حکم استقرا:n اگر در دوحرکت اول خط عمودی و افقی i حذف شده باشند حالت ۱: i=۱or 2 or n or n+1 واضح است شکل به دست امده مشابه (مربع به طول ضلع)=n-1 or n-2 هست و طبق فرض استقرا حکم اثبات میشود حالت ۲: i کوچکتر مساوی n-1 و بزرگتر مساوی ۳ میدانیم شکل حاصل شامل یک مربع (i-2)×(i-2) و یک مربع (n-i)×(n-i) و دو مستطیل (n-i)×(i-2) است و همیشه پس از زوج مرحله شکل نسبت به قطر اصلی قرینه است از انجایی که حرکت هایی که روی یکی از مربع های گفته شده انجام شود رو مربع دیگر تاثیری ندارد طبق فرض اخرین حرکن قبل از ویرانی کامل مربع های گفته شده را نفر اول انجام میدهد و پس از ویرانی کامل دو مربع گفته شده خانه سالمی در مستطیل ها نمیتواند باقی بماند زیرا گفته بودیم مربع اصلی همیشه نسبت به قطر اصلی قرینه است پس اگر خانه ای سالم در یک مستطیل باقی مانده باشد مشابه ان خانه در مستطیل دیگر نیز سالم است و اگر خط های انها را رسم کنیم نتیجه میشه دو مربع گفته شده کامل ویران نشده اند که متناقض است پس نفر اول در این حالت میبازد و نفر دوم میبرد و حکم اثبات میشود