نفر اول :‌ A , نفر دوم : B

اثبات میکنیم به ازای تمام مقادیر k نفر اول (A) برنده میشود.

هر دور را از آخر یعنی دور k ام بررسی میکنیم و به عقب می آییم . در دور k ام A باید عددی بگذارد که B نتواند آن را به عددی بخش پذیر بر۹ تبدیل کند . پس عددی که نفر A باید بگذارد به پیمانه ی ۹ باید یکی از باقیمانده های زیر را داشته باشند :‌ ۰ و ۱ و ۲ و ۳ .

در دور k-1 ام نفر B اگر عددی بگذارد که به پیمانه ی ۹ باقیمانده ی 3 را داشته باشد فرد A نمیتواند هیچکدام از اعداد با شرایط بالا را داشته باشد . پس نفر A در دور k-1 باید کاری کند که نفر B نتواند عددی با آرایش 9x+3(باقیمانده ۳ به پیمانه ۹) بگذارد . پس نفر A در دور k-1 باید عددی انتخاب کند که باقیمانده اش بر ۹ یکی از این ها باشد :‌ 3 و ۴ و ۵ و ۶ .

در دور k-2 هم نباید نفر B عددی با باقیمانده ی ۶ به پیمانه ۹ رسیده باشد زیرا فرد A به هدفش نمیرسد . پس فرد A در دور k-2 ام باید به عددی برسد که باقیمانده اش بر ۹ یکی از مقادیر روبرو باشد :‌ 0 و ۶ و ۷ و ۸

دور k-3 در واقع همانند دور k ام است . زیرا اگر فرد B به عددی با فرم 9x برسد A نمیتواند به هدفش در دور k-2 برسد .

این تناوب ادامه پیدا میکند و k هر عددی که باشد چون به یک تناوبی رسیدیم که برای هر کدام از آن ها اعدادی وجود دارند که نفر A به آن ها برسد پس A پیروز این بازی است .