الف )‌

نفر اول دو تا بر میدارد . نفر دوم اگر دو تا بردارد که نفر اول هم دو تا بر میدارد و نفر اول برنده میشود . اگر هم نفر دوم یکی بردارد همه تا انتها مجبورا باید یکی یکی برداند و در نهایت نفر یک آخرین مهره را برمیدارد و میبرد .

ب)

۱- نشان میدهیم که نفر دوم در n به ازای توان های دو برنده میشود . استقرا میزنیم . پایه هم دو به توان صفر است (=۱) که نفر اول اصلا نمیتواند سنگی بردارد و بازنده میشود .

برای $2^{k-1}$ فرض میکنیم درست است و برای دو به توان k حکم را ثابت میکنیم. اگر نفر اول بیشتر مساوی $2^{k-1}$ بردارد نفر میتواند به راحتی باقیمانده ی سنگ ها را بردارد و برنده شود . اگر هم نفر اول اینکار را نکند میتوانیم فرض کنیم که حرکت نفر اول همان حرکتی بوده که در حالت k-1 (فرض) زده و نفر دوم طبق فرض میتواند کسی باشد که $2^{k-1}$ اُمین سنگ را برمیدارد. حالا $2^{k-1}$ سنگ دیگر باقیمانده و نوبت نفر اول است و باز هم طبق فرض استقرا نفر دوم میبرد .

نشان میدهیم اگر n توان دو نباشد نفر اول میبرد .

۲- اگر n فرد باشد که نفر اول اولین حرکتش یک سنگ برمیدارد و تا انتهای بازی هر کس در هر مرحله یک سنگ باید بردارد پس نفر اول برنده میشود .

۳- اگر n زوج باشد و توانی از دو نباشد : بزرگترین $x$ را برای $2^x < n$ در نظر بگیرید . با توجه به اینکه $n < 2^{x-1}$ پس $n-2^x \le \frac{n}{2} -1$ .

یعنی نفر اول میتواند $n-2^x$ را بردارد و شرایط باقیمانده را طوری کند که اولا نفر دوم نتواند تمام سنگ های باقیمانده را بردارد و ببرد و دوما سنگ های باقیمانده توانی از دو است و طبق چیزی که قبلا اثبات کردیم نفر دومی که بازی را شروع کند (نفر اول اصلی) برنده خواهد بود . پس حکم ثابت شد .