برا قسمت ب یه کم ساده تر بیان می کنم:

ستون های جدول رو از راست به چپ B , A و C می نامیم. سطرهای جدول رو هم از 1 تا 1401 (از بالا به پایین) شماره گذاری می کنیم.

حالا مهره ها را به صورت زیر در جدول قرار می دهیم:

• به ازای هر سطر با شماره ی فرد، در خانه های A و C مهره قرار می دهیم (یعنی دو خانه ی کناری)، بدین شکل: .-.
• به ازای سطرهای با شماره ی زوج، در خانه های A و B مهره قرار می دهیم (خونه ی سمت وسط و راست)، بدین شکل: ..-

حالا دقت کنید که:

• هیچ دو مهره از ستون C را نمی توان با یک حرکت حذف کرد؛ پس برای هرکدام یک حرکت جدا نیاز داریم (ینی اینجا 701 حرکت)
• هیچ دو مهره ای از ستون B را نمی توان با هم حذف کرد؛ همچنین هیچ کدام نیز با مهره های ستون C حذف نمی شوند (ینی اینجا هم 700 حرکت)
• خانه ی سطر اول ستون A با هیچ یک 1401 حرکتی که در دو مورد قبل ذکر کردم حذف نمی شه؛ پس برا حذفش یه حرکت جدای از اون 1401 حرکت نیاز داریم.

با توجه به موارد بالا، حداقل به 1402=1+700+701 حرکت برای حذف تمام مهره های جدول نیاز داریم 🗿

الف)

راه 1)

در ستون اول و دوم و سوم به ترتیب x,y,z خانه ی خالی داریم . واضح است که اگر در ستونی Q تا خانه ی خالی باشد حداکثر با Q+1 حرکت کل آن ستون را حذف میکنیم . حالا پس میدانیم که x+y+z = 1401 پس با 1404 حرکت میتوان همه را حذف کرد . اما به این نکته توجه کنید که در سطر اول و دوم هر کدام یک خانه ی خالی دارند . لذا در ستون هایی که آن خانه ی خالی آمده اند یکی از زیرجدول های متوالی اش کم میشود . پس $1404-2=1402$

راه 2)

استقرا میزنیم . حکم : به ازای n سطر و 3 ستون هموراه میتوان حداکثر n+1 حرکت کل مهره ها را حذف کرد به طوری که سطر آخر دو مهره اش در یک زیرجدول حذف نشوند . پایه : n=2 که بر عهده خواننده گام استقرا : سطر آخر را در نظر بگیرید . حداقل یکی از مهره هایش با یکی مهره های سطر بالا اشتراک دارد طبق فرض استقرا هر دو مهره ی سطر یکی مانده به آخر در دو زیرجدول مجزا حذف شده اند (بیش از یک ستون در زیرجدولی که حذف شده ، نیست .) لذا میتوان آن مهره ای که اشتراک دارد را با زیرجدولی که از سطر بالایی حذف شده حذف میکند و آن یکی مهره ی سطر آخر را هم با یک زیرجدول 1در1 حذف میکنیم . پس

n-1 +1 + 1 = n+1 ب) سطر هایی که به 3 باقیمانده ی 1 دارند را

-..

باقیمانده ی 2

..-

باقیمانده ی 3

.-.

حالا واضح است که هیچ زیرکدولی با تعداد سطر بیش از 2 نمیتوان انتخاب کرد . همچنین دو مهره در سطر یک و آخر تنها هستند و با زیرجدولی نمیاند . پس

2 + 2800/2 = 1402