الف)

راه 1)

در ستون اول و دوم و سوم به ترتیب x,y,z خانه ی خالی داریم . واضح است که اگر در ستونی Q تا خانه ی خالی باشد حداکثر با Q+1 حرکت کل آن ستون را حذف میکنیم . حالا پس میدانیم که x+y+z = 1401 پس با 1404 حرکت میتوان همه را حذف کرد . اما به این نکته توجه کنید که در سطر اول و دوم هر کدام یک خانه ی خالی دارند . لذا در ستون هایی که آن خانه ی خالی آمده اند یکی از زیرجدول های متوالی اش کم میشود . پس $1404-2=1402$

راه 2)

استقرا میزنیم . حکم : به ازای n سطر و 3 ستون هموراه میتوان حداکثر n+1 حرکت کل مهره ها را حذف کرد به طوری که سطر آخر دو مهره اش در یک زیرجدول حذف نشوند . پایه : n=2 که بر عهده خواننده گام استقرا : سطر آخر را در نظر بگیرید . حداقل یکی از مهره هایش با یکی مهره های سطر بالا اشتراک دارد طبق فرض استقرا هر دو مهره ی سطر یکی مانده به آخر در دو زیرجدول مجزا حذف شده اند (بیش از یک ستون در زیرجدولی که حذف شده ، نیست .) لذا میتوان آن مهره ای که اشتراک دارد را با زیرجدولی که از سطر بالایی حذف شده حذف میکند و آن یکی مهره ی سطر آخر را هم با یک زیرجدول 1در1 حذف میکنیم . پس

n-1 +1 + 1 = n+1 ب) سطر هایی که به 3 باقیمانده ی 1 دارند را

-..

باقیمانده ی 2

..-

باقیمانده ی 3

.-.

حالا واضح است که هیچ زیرکدولی با تعداد سطر بیش از 2 نمیتوان انتخاب کرد . همچنین دو مهره در سطر یک و آخر تنها هستند و با زیرجدولی نمیاند . پس

2 + 2800/2 = 1402