قسمت ب واقعا راه جالبی داره.

اولا که زیررشته شامل کل توپ ها متوازنه، پس کافیه ثابت کنیم ۷۰۱ زیررشته متوازن دیگه هم داریم. حالا توپ ها رو دور دایره میچینیم(!). ادعا میکنم به ازای هر k از بین ۱ تا ۱۴۰۱، زیررشته ای از توپ ها (دور دایره) به طول 2k وجود داره که متوازنه. برای اثبات ادعای بالا برای k اینگونه عمل میکنیم: اول روی هر توپ سفید عدد ۱ و هر توپ سیاه -۱ مینویسیم. حالا یه زیررشته دلخواه به طول 2k رو در نظر بگیرید (توجه کنید 2n تا زیررشته دور دایره به طول x وجود داره). اگر جمع اعداد این زیررشته برابر ۰ باشه حله، پس بدون از دست دادن کلیت فرض میکنیم این مجموع کمتر از ۰ باشه. اگر این مجموع رو به ازای تمام 2n حالت انتخاب زیررشته حساب کنیم، با یه دوگانه شماری چون هر توپی در 2k زیررشته حساب میشه و مجموع توپ ها ۰ هست، مجموع ۰ خواهد شد. بنابرین یک زیررشته وجود داره که جمعش مثبته. حالا اگر یک زیررشته رو یک واحد در جهت ساعتگرد شیفت بدیم، با یک بررسی ساده متوجه میشیم که جمعش یا ثابت میمونه یا + یا - ۲ میشه. بنابرین طبق پیوستگی‌گسسته اگر از زیررشته با جمع منفی هردفعه شیفت بدیم تا به زیررشته با جمع مثبت برسیم، این وسط زیررشته ای وجود داره که جمعش ۰ هست. پس ادعا ثابت شد.

حالا هرعدد مثل k رو میگیم بد اگر زیررشته به طول 2k ای که پیدا کردیم شامل هردوی توپ های 1 , 2n باشه. در غیر این صورت میگیم خوب. اگر تعداد k های خوب بیشتر مساوی ۷۰۱ باشه حکم نتیجه میشه. در غیر این صورت تعداد k های بد حداقل ۷۰۱ = ۷۰۰-۱۴۰۱ هست. حالا فکتی که وجود داره، اینه : اگر یک زیررشته دور دایره جمعش ۰ بشه، جمع زیررشته مکملش هم ۰ عه. یعنی به ازای هر k بد یه زیررشته متوازن در حالت خطی داریم و مجدد حکم نتیجه میشه!