چالش هر هفته گزاشتن سوال . هفته 2
سوال 1
ده دانش اموزهر کدام 3 کتاب (متفاوت) از کتابخانه سفارش دادند به طوری که هر دو تا از دانش اموزان حداقل 1 کتاب مشترک دارند .بعد از خرید معلوم شد ( کتاب الفبای المپیاد نجوم )از پرفروش ترین انها بود ( ممکنه یه کتاب دیگه هم اندازه ی اون فروش رفته باشه )حداقل تعداد دانش اموز هایی که الفبای المپیاد نجوم رو خریدند چقدر هست ؟
سوال 2
16 دانش اموز از مدرسه دستغیب در المپیاد ستاره شناسی شرکت کردند که سوال های ازمون تستی بود (4 گزینه ای ) بعد از ازمون معلوم شد هر دو دانش اموز حداکثر 1 جواب در اشتراک داشتن . حداکثر تعداد سوال های ازمون چند است ؟
سوال 3
در تورنمنت جنگ ستارگان(کهکشان ها!) هر یک از 2n+1 کهکشان با کهکشان های دیگر دقیقا یک مسابقه میدهد ( در مسابقه تساوی نداریم)
الف ) حداقل تعداد دور های به طول 3 در این تورنمنت چند است ؟؟
ب)حداکثر تعداد دور های به طول 3 چند است ؟؟
سوال 4 گالیله پس از اختراع تلسکوپ با دقت $n$(دقت تلسکوپ یعنی تعداد عدسی هایی که داره ), به دنبال طراحی ظاهر بیرونی رفت ,( شکل تلسکوپ برای اینکه هم بهتر بتونه اجسام اسمانی رو ببینه عدسی هاش 1 واحد بزرگ تر میشن و برای اینکه هم وضوح تصویر خراب نشه عدسی ها رو هم تراز قرار دادن از این سو شبیه راه پله شده)
گالیله از شما میخواهد تعداد راه های پوشاندن تلسکوپ را با مستطیل را بیابید به طوری که هیچ دو مستطیل را نتوان یکی کرد
مثال $ n = 4$
من برا سوال 1 فقط تونستم اثبات کنم که جواب حداقل 4 هست؛ ولی فعلا مثالی براش ندارم؛ ولی می دونم که برا 5 مثال هست. پس جواب یا 4 می شه یا 5 (ینی برا 4 فقط اثبات دارم و برا 5 فقط مثال 🗿)
2024-02-27 13:22:47 -0500 سیده زینب متولیکاش سوالا رو تو 4 صفحه ی جدا می ذاشتی، اینجوری اگه بخوایم همه رو جواب بدیم باید پاسخ قبلی مون رو هی ویرایش کنیم
2024-02-27 13:24:36 -0500 سیده زینب متولیجواب سوال 2: این آزمون حداکثر 5 سوال دارد. - اثبات: سوال اول این آزمون رو در نظر بگیرید. این سوال 4 گزینه داره. طبق اصل لانه کبوتری، حداقل 4 نفر از 16 نفر وجود دارن که پاسخشون به سوال یک، یکسان هست. به تقارن فرض می کنیم چهار نفر وجود دارن که گزینه ی 1 رو زدن. حالا اگه به غیر از سوال یک، k تا سوال دیگه داشته باشیم به ازای هرکدوم از این سوالا جوابای اون چهار نفر متفاوته (چرا؟). حالا اگه یه نفر دیگه رو در نظر بگیرید (غیر از این 4 نفر)، به ازای هرکدوم از اون k تا سوال، پاسخش با دقیقا یکی از اون چهار نفر یکسانه و چون طبق فرض سوال، هر دونفری حداکثر در یک سوال مثل هم هستن، پس k حداکثر می تونه 4 باشه؛ در غیراینصورت به ازای هر کدوم از 12 دیگه مانند A (همه غیر از 4 نفری که پاسخشون به سوال یک، گزینه ی 1 بوده) یکی از اون 4 نفر وجود داره که پاسخ حداقل دوتا از سوالاش مثل فرد A هس که تناقضه. از اونجایی که تعداد کل سوالا k+1 هس و k حداکثر 4 عه، پس حداکثر این آزمون 5 سوال داره.
البته این فقط اثباتشه و فعلا مثالی براش ندارم (دقیقا مثل سوال 1) و فقط می تونم بگم یا همین 5 می شه یا 4 (برا 4 مثال دارم)
حالا شما اگه حل کردید لطفا بگید تا اگه کرانی که به دست آوردم دقیق نیس، تو راه حلم تجدید نظر کنم
2024-02-27 14:44:10 -0500 سیده زینب متولی