حقیقتا دقیقش نکردم ولی بیا این الگوریتم رو اجرا کن یحمتل جواب می ده. اگرم اشتباهه دوستان بیان اشتباهمو اصلاح کنن ممنون می شم. الگوریتم رو اینجوری تعریف کن که بیا همه رو دایره وار بچین و هرکس توپشو در هر مرحله بده نفر سمت راستی تا زمانی که توپش دست خودش بیوفته. حالا بیا با استقرا اثبات کن که درسته الگوریتم. بدیهیه که توچ ها باید بیشتر از 1 باشن. برای پایه ی 2 و 3 حکم واضحه. حالا فرض می کنی برای n هم درسته. حالا برای ادامه ی استقرا اگر بیای برای n+1 اثبات کنی نفر n+1 ام به جایی می رسه که همه ی توپ ها رو بگیره حکم عملا ثابت شده چون اگر اون موفق به همچین کاری بشه بقیه هم همه ی توپ ها رو گرفتن . برای این تیکه اش شاید بشه بعد از اینکه نفر n+1 ام همه توپارو گرفت نادیده اش گرفت و بعد به فرض برگشت ولی مطمئن نیستم این تیکه رو همون قسمت بالا یحمتل درست تره. حالا دقیق کردنش با خودتون.

خب، فعلا به ازای n های فرد ثابت می کنیم که این کار ممکن نیست:

یک جدول با n سطر و n ستون درست می کنیم.

مقدار خانه ی سطر i ام و ستون j ام جدول نشان می دهد که بازیکن شماره ی i تا به حال چندبار توپ j را از دیگر بازیکن ها دریافت کرده است. پس واضح است که در ابتدا همه ی مقادیر جدول برابر صفر هستند.

• نکته: هر مرحله که جابه جایی انجام شود، مجموع خانه های جدول به اندازه ی 2 تا افزایش می یابد و با توجه به اینکه ابتدا مجموع اعداد جدول عددی زوج است (صفر زوجه دیگه!) پس بعد از انجام هر تعداد درمرحله، همچنان زوج می ماند!

حالا دقت کنید که اگر قرار باشد شرط سوال برقرار شود، باید بعد از تعدادی مرحله مقدار هرکدام از خانه های جدول برابر 1 شود؛ یعنی مجموع اعداد جدول بعد از این مراحل باید nn شود. با توجه که n فرد است، پس nn نیز فرد است؛ اما طبق نکته، مجموع اعداد جدول در هر مرحله زوج خواهد ماند و یعنی خواسته ی سوال به ازای n های فرد ممکن نیست...

پ.ن: برای n های زوج به نظرم می شه. روش فکر می کنم واگه به نتیجه ای رسیدم جوابمو ویرایش می کنم.