اول بر اثاث تعداد سیب sort میکنیم جعبه ها رو بعد اولی رو بر میداریم(بزرگه) بعد از بین ۲،۳ ، ۴،۵ ، ۶،۷ ، .... هرکدوم پرتقال بیشتری داشتن بر میداریم

خب این سوال در واقع به این صورته که باید ثابت کنیم 50 جعبه وجود داره که هم تعداد سیب ها در اونها از نصف کل سیب ها بیشتره و هم تعداد پرتقال ها از نصف کل پرتقال ها .
اثبات حمیدرضا هدایتی اما اثبات یک سوال بدیهی تر است که میگوید یا برای سیب ها همچین قانونی هست یا برای پرتقال ها در حالی که سوال اصلی همونی است که اول گفتم .

خب میگیم 50 تا جعبه ی دلخواهو برمیداریم در این50 جعبه میدونیم چند حالت مختلف وجود داره :

تعداد سیب ها از نصفشان بیشتر است
تعداد پرتقال ها از نصفشان بیشتر است
هر دو گزاره ی اول برقرار اند .
نه گزاره ی اول درست باشد و نه دوم

خب اگر گزاره ی سوم درست باشد که این 50 جعبه همان 50 جعبه ی سوال هست .
اگر گزاره ی چهارم درست باشد با زیرکی میتوان 49 جعبه ی باقیمانده را انتخاب نمود و میدانیم درباره ی آنها گزاره ی سوم برقرار است و دوباره سوال حل است ( خب چون سوال گفته 50 جعبه باشد میتواند به این 49 جعبه یک جعبه ی دلخواه (حتی خالی ) اضافه نمود )

در غیر این صورت ها میدانیم برای هر 50 جعبه ای که انتخاب میشود یا فقط گزاره ی اول درست است یا فقط گزاره ی دوم .
خب در این صورت میدانیم حداقل یک دسته ی 50 تایی وجود داره که گزاره ی یکش درست باشه و نیز حداقل یک دسته ی 50 تایی وجود داره که گزاره ی دوش درست باشه ( چرا ؟ چون اگر برای هر دسته ی 50 تایی اگر 49 جعبه ی باقی مانده را در نظر بگیریم ، آنوقت تغییر گزاره رخ میدهد)
بنابراین دو دسته ی A و B با خاصیت متفاوت وجود دارند (یعنی یکیشان پیرو گزاره ی یک است و یکی شان پیرو گزاره ی دو)

این دو دسته با هم هیچ اشتراکی ندارند ( خب در اون صورت یکی از دسته ها 49 تایی میشه و خب این اهمیتی نداره . چون تاثیری بر جواب نداره )

لم 1 طبق این لم دو دسته را میشود با هم تعویض نمود به این صورت »
یکی یکی جعبه ها رو تعویض میکنیم تا اینکه دو دسته کاملن با هم تعویض بشن و در این بین هم هیچ دسته ای نباید از 50 تا بیشتر جعبه داشته باشه

حالا میدونیم میشه از دسته ی A که توش گزاره ی اول درسته به دسته ی B رسید که توش گزاره ی دوم درسته . پس در بین مراحل تعویض مرحله ای بوده که با جابجایی یک جعبه از دسته ی Y به دسته ی X آنگاه خاصیت دو دسته به ناگاه تغییر کرده (یعنی در مرحله قبل پیرو گزاره ی یک بوده ولی در این مرحله پیرو گزاره ی دو) در حالی که میدونیم یکی از دسته ها مثلن X ، هیچ جعبه ای ازش کم نشده و بلکم یک جعبه هم بهش اضافه شده ، پس با اینحال میدونیم این دسته همچنان خاصیت قبلیشو حفظ میکنه یعنی این دسته پیرو گزاره ی 3 میشه و میدونیم در این صورت سوال حله ! (چرا ؟ چون اگر سوال رو با دقت بخونید میفهمید سوال گفته ثابت کنید دسته ای وجود داره که از گزاره ی 3 پیروی کنه)

(ببخشید زیادی نامفهوم شد ، ولی یه دو سه بار خوب بخونید میفهمیدش !)