برای n = 3 اینجوری میشه:

C:\fakepath\Untitled.png

به این صورت هست که توی جدول سمت چپ روش انجام و جدول سمت راست هم تست جدول سمت چپ هست.

میدونی یه چیزی‌هست که اگه اثباتش کنم کامل اثبات میشه، اگه توی اردو‌ها برای ۶ رو نگاه کنی می‌بینی که هر ۳ روزی رو که انتخاب کنی توش همه‌ی گروه‌ها هستن (این برای 2n هم درسته! )، مثلن برای ۱۰ ما ۴ گروه اضافه میشه بهمون، اون چهار گروه رو با انتخاب ۲ از ۴ در ۶ حالت می‌تونیم پر کنیم حالا اگه این گروه‌های جدید رو همراه اونا بفرستیم یعنی روز اول علاوه بر اینکه ۳ گروه از ۶ گروه رو می‌فرستیم ۲ گروه از ۴ گروه هم می‌فرستیم و طبق اون فرضی که نتونستم اثباتش کنم چون هر سه روز رو که انتخاب کنی اشتراکش می‌شه همه‌ی گروه‌ها این ۴ گروه‌جدید علاوه‌بر اینکه حداقل یک بار باهم اردو رفتن حداقل یکبار با بقیه‌هم اردو رفتن. حالا میشه استقرا زد دیگه! :-) فقط من مشکلم اینه که نتونستم اونی که ازش برای اثبات فرد‌ها استفاده کردم رو اثبات کنم!

امیدوارم تونسته باشم توضیح خوبی داده باشم! :)

جواب کاملش رو هم پیدا کردم، فردا مینویسیم. دقیقن همین حرفی رو که زدم این چیزی رو که نتوسنتم اثباتش کنم رو هم توی فرض استقرا میارم.

و حال جواب کامل: دو حالت پیش میاد یا n زوج باشه یا n فرد باشه. اگه n زوج بود به ۴ گروه تقسیمش می‌کنیم و هر‌بار ۲ گروه رو می‌فرستیم برن گردش که می‌شه انتخاب ۲ از ۴ برابر با ۶ روز اگه n فرد بود، استقرا می‌زنیم! برای n = 3 اینجوری میشه: C:\fakepath\Untitled.png فرض: فرض می‌کنیم بتونیم برای n = 2k-1 در ۶ روز دانش‌آموزان رو طوری به اردو بفرستیم که هم همه دست‌کم یه بار باهم اردو رفته باشن و هم اشتراک هر سه روزی از این اردو‌ها برابر با کل دانش‌آموزان باشه. اثبات برای 2k+1 : توی این حالت ۴ تا از دانش‌آموزان رو کنار می‌زاریم، بقیه‌ رو می‌تونیم در ۶ روز به طوری به اردو بفرستیم که هم دست‌کم یه‌بار هم رو دیده باشن و هم اشتراک هر سه روزی برابر با کل دانش آموزان باشه. اون چهار تایی که کنار گذاشتیم رو اینجوری به اردو می‌فرستیم: روز اول: ۱ و ۲ روز دوم: ۱و ۳ روز سوم: ۱ و ۴ روز چهارم: ۲ و ۳ روز پنجم: ۲ و ۴ روز ششم: ۳ و ۴ اگه دقت کنیم می‌بینیم که توی این چهار‌تا هم از ۳ روزی رو انتخاب کنیم هر چهار دانش‌آموز توش هستن و همچنین هر دانش‌آموز سه روز رفته اردو پس همه‌ی دانش‌آموزان دیگه رو می‌بینه و از این چهار دانش‌آموزان همه رو می‌بینه پس هم هردوتاش اثبات شد پس کلن اثبات شد با ۶ تا میشه!

تعداد جفت دانش آموزا انتخاب 2 از 2n ه.تو هر روز میشه به اندازه انتخاب 2 از n تا از این جفت دانش آموزارو ساخت.پس حداقل به (انتخاب 2 از 2n) تقسیم بر (انتخاب 2 از n) روز احتیاج داریم که میشه: مثلا برای n=2 میشه:
6=6/1=(2-1)/(2-2*4)

البته مطمئن نیستم درست باشه.