فقط درباره حداقل S میگم ...
اگر این جایگاه ها رو با اعداد 1 تا 999 به ترتیب شماره گذاری کنیم و در جایگاه هایی که شماره شان باقی مانده اش بر 10 برابر یک است عدد 1- قرار دهیم و در باقی جایگاه ها عدد 1. در اونصورت تنها 10 جایگاه متوالی که ضربشان 1- نمیشود 10 تا جایگاه آخره که شامل جایگاه های 991، 992، 993 ... ، 999 و 1 میشه . چون جایگاه های 999 و 1 باقی موندشون به 10 برابر یکه و دو تا عدد 1- داریم پس ضربشون میشه 1+ .

جمع تمام حاصلضرب10 تاجایگاه متوالی برابره با 1 + 998- = 997- ( 998 تا جایگاه حاصلش شد 1- و 1 جایگاه باقیمونده حاصلش 1+ شد)

اثبات اینکه از این کمتر نمیشه سادست . قبلش بدونید به 10 تا جایگاه متوالی بر روی این دایره میگیم دسته . از میان 999 تا دسته ی موجود ، حداقل یکیشون هست که شامل زوج تا 1- میشه. چرا ؟ فرض کنید همشون حاوی فرد تا میشدن ، به ازای هر دسته تعداد 1- هاشو میشماریم و حاصل رو در B ذخیره میکنیم ، در اینجا ما هر 1- رو 10 بار شمردیم ( چرا ؟ چون هر عدد ، توی 10 تا دسته اومده ) پس میدونیم مقدار B بر 10 بخش پذیره ( پس B زوجه ) ولی فرض کرده بودیم هر دسته فرد تا 1- داره و 999 تا هم دسته داریم پس مجموع 1- های تک تک دسته ها (B) برابره با

فرد $*$ 999

میدونستیم B زوج بود پس ممکن نیست و غیر ممکنه که B برابر مقدار بالا باشه . در نتیجه همه دسته ها حاوی فرد تا 1- باشن . پس حداقل یکیشون زوج تا داره در اینصورت حداقل S هست 997-