(چون کسی جواب نداد خودم جواب این سوال رو گذاشتم)

(منظور از رفتن به راست یا بالا انتقال مهره به سمت بالا یا راست است.)

می‌دانیم که در سطر و ستون آخر دقیقن ۱ تغییر جهت اتفاق می‌افتد.

نفر اول می‌تواند همیشه به صورت زیر بازی کند و ببرد:

می‌دانیم که در هر بازی که انجام می‌شود حداقل ۱ تغییر جهت وجود دارد و آن هم در سطر یا ستون آخر است.

پس اگر نفر اول بتواند کاری کند که در زیر جدولی از صفحه‌ی بازی که تشکیل شده از کل صفحه بدون سطر و ستون آخر است تعداد زوجی تغییر جهت وجود داشته باشد بازی را می‌برد. برای این کار بازی را به دوحالت کلی تقسیم می‌کنیم:

۱- حالتی که تعداد سطر ها کمتر از تعداد ستون ها باشد:

در این حالت نفر اول می‌تواند فقط به سمت بالا برود.

اثبات درستی:

بعد از هر حرکت نفر اول، نفر دوم می‌تواند به بالا یا راست برود .اگر نفر دوم به راست برود یک تغییر جهت درست کرده است که در این حالت نفر اول در حرکت بعدی خود یک تغییر جهت دیگر ایجاد می‌کند و تعداد تغییر جهت ها در زیر جدول ذکر شده زوج باقی می‌ماند. و اگر نفر دوم به سمت بالا برود هیچ تغییر جهتی ایجاد نکرده و پس از حرکت بعدی نفر اول هم تعداد زوج باقی می‌ماند.

۲- حالتی که تعداد ستون ها کمتر یا مساوی تعداد سطر ها باشد.

در این حالت نفر اول می‌تواند فقط به سمت راست برود.

اثبات درستی:

بعد از هر حرکت نفر اول،نفر دوم می‌تواند به سمت بالا یا راست برود. اگر به سمت بالا برود یک تغییر جهت ایجاد کرده است که در حرکت بعدی نفر اول یک تغییر جهت دیگر به وجود می‌آید و تعداد تغییر جهت ها زوج باقی می‌ماند.و اگر نفر دوم به سمت راست برود هیچ تغییر جهتی ایجاد نمی‌شود و در هر حرکت بعدی نفر اول هم تغییری در زوجیت تعداد تغییر جهت‌ها صورت نمی‌گیرد پس باز هم زوج تا باقی می‌ماند.

پس نفر اول می‌تواند تعداد تغییر جهت‌ها را در زیر جدول ذکر شده زوج نگه دارد و چون درخارج آن زیر جدول دقیقن یک تغییر جهت صورت می‌گیرد نفر اول برنده بازی به حساب می‌آید.

امیدوارم تونسته باشم جوابم رو خوب بیان کنم.