اگر گراف همبند نباشد، پس حداقل 2 مؤلفه همبند دارد.

راس $V_1$ از مؤلفه اول را در نظر میگیریم این راس به تمام راس هایی که در مؤلفه اول نباشد وصل است.

راس $V_2$ را از مؤلفه دوم در نظر میگیریم این راس به تمام راس ها به جز راس های مؤلفه دوم متصل است.

حال ثابت می کنیم تمامی راس ها به $V_1$ مسیر دارند:

اگر راس $x$ در مؤلفه اول نباشد به در گراف مکمل به راس $V_1$ متصل خواهد بود.

و اگر در مولفه ی اول باشد، به $V_2$ متصل خواهد بود و چون $V_2$ به $V_1$ وصل است، در نتیجه $x$ به $V_1$ وصل است.

چون همه ی راس ها به $V_1$ متصل هستند پس گراف حاصل همبند می باشد.

دو مولفه ی دلخواه گراف رو درنظر بگیرید:
در گراف مکمل تمامی راس های مولفه ی اول به تمامی راس های مولفه ی دوم وصل اند!
بنابراین هر راس در مولفه ی اول به تمام راس های مولفه ی دوم و به تمام راس های مولفه ی اول با یک واسطه وصل است
برای تمامی مولفه ها این شرایط برقرار است پس گراف همبند است

فرض کنیم کراف مکمل همبند نباشد پس بین دوراس v,u هیچ مسیری وجود ندارد،پس در خود گراف G همه ی مسیر های بین این دو راس موجود داشته است پس دو راس مانند a,b در G که بهم مسیر نداشته اند(G نا همبند است) از طریق v یا u به یک دیگر مسیر دارند.

سلام جناب آقای عطا الله کمال ان شاالله همیشه سالم وسربلند باشید اینجانب آشنای اقای کامکاری ام که با تعاریفی که اقای کامکاری از این سایت کرد مشتاق پیوستن به این سایت شدم از جنابتان خواهش دارم که اگر کتاب هایی در سطح مقدماتی میشناسید به اینجانب راهنمایی کنید تا ما هم مانند حضرات از امتیزات سایت بهره مند شویم من از مشهد استان خراسان رضوی هستم و میخواهم بدانم برای تهیه کتاب های المپیاد باید حتما تا تهران بروم