سلام

راه حل اصلی این سوال استقرا است.

به ازای n=4 مساله درست است چون اگر افراد a و b و c و d باشند یکبار a به b یکبار b به c یکبار c به d و یکبار d به a خبر خود را انتقال میدهند و آن موقع کار تمام است

فرض میکنیم به ازای n=k حکم برقرار باشد آنگاه برای n=k+1 اثبات میکنیم یعنی باید اثبات کرد به ازای n=k+1 میتوان با 2k-2 مرحله اخبار را انتقال داد .

ما k نفر را از k+1 نفر در نظر میگیریم خبر آن یک نفر دیگر را با یک مرحله به یک نفر از آن k نفر میدهیم طبق فرض استقرا آن k نفر خبر خود را به 2k-4 طریق انتقال میدهند و در آخر با یک حرکت آن یک نفر جدا شده در اول خبر ها را از یکی از آن k نفر میگیرد و مجموعا میشود

2k - 4 + 1 + 1 = 2k - 2

نفرات رو به دو گروه تقسیم میکنیم:

یک گروه از دو نفر تشکیل شده. و مابقی افراد در گروه دو می باشند.

حال نفر اول از گروه 1 به نفر دوم از گروه دو زنگ می زند. و هر دو خبرشان را به یکدیگر می گویند. (نفر 1 و نفر 2 تمام اخبار گروه یک را میدانند) 1 تماس

سپس نفر اول گروه دو به نفر دوم زنگ میزند و خبر را میگوید و دوم به سوم و سوم به چهارم ... تا n-3 به n-2 زنگ می زند و خبرهایشان را به هم می گویند. (نفر n-2 و نفر n-3 تمام اخبار گروه دو را می دانند) n-3 تماس

حالا نفر اول از گروه یک به نفر n-3 از گروه دو زنگ می زند و خبرهایشان را به هم می گویند. ( از این پس هر دو تمامی اخبار را می دانند) 1 تماس

حالا نفر دوم از گروه یک به نفر n-4 از گروه دو زنگ می زند و خبرهایشان را به هم می گویند. ( از این پس هر دو تمامی اخبار را می دانند) 1 تماس

حالا n-4 نفر باقی می مونن. (اگه n = 4 باشه تا همینجا با چهارتا تماس همه اخبار رو میدونن. ولی اگه n برابر با 4 نباشه ...) نفر اول از گروه اول به نفرات 1 تا n-4 از گروه دوم زنگ می زنه و اخبار رو بهشون می گه. (حالا این n-4 نفر هم همه ی اخبار رو می دونن.) n-4 تماس

در مجموع 2n-4 تماس برقرار شد و تمامی افراد از همه ی اخبار خبر دارند.

راه حل صریح:

1. [۱ تماس] نفر ۱ با ۲ تماس می‌گیره.
2. [$n-3$ تماس] نفر ۳ که خیلی پُرچونه هست، با $n$ تماس می‌گیره؛ بعد (اگه $n\gt4$) با $n-1$ تماس می‌گیره؛ بعد (اگه $n\gt5$ بود) با $n-2$ تماس می‌گیره و ... تا آخرش با نفر ۴ تماس می‌گیره. یعنی در واقع نفر ۳ از آخر به اول (تا نفر ۴) با همه دونه دونه تماس می‌گیره.
3. [۱ تماس] نفر ۱ با ۳ تماس می‌گیره.
4. [۱ تماس] نفر ۲ با نفر ۴ تماس می‌گیره.
5. [$n-4$ تماس] اگر $n\gt4$ باشه، نفر ۳ (که دوباره فک‌ش گرم شده) با نفر ۵، بعد با نفر ۶، تا ... با نفر $n$ تماس می‌گیره.

در پایان مرحله دوم، نفر ۳ و ۴ از تمامی اخبار مطلع هستند. در پایان مرحله چهارم، نفر ۱ و ۲ نیز. در پایان مرحله پنجم، همه.