اثبات با استقرا: فرض میکنیم حکم برای n پسر و برای n+1 دختر درست است حالا برای n+1 پسر و n+2 دختر حکم را ثابت میکنیم و بعد یک دختر و یک پسر را اضافه میکنیم(فرقی نمیکند کجا) و اول دختر را میگذاریم بعد پسر را به همین ترتیب حکم ثابت میشود اثبات اینکه فقط یک دختر هست که این ویژگی رو دارد: فرض خلف که 2 دختر هستند که این ویژگی برایشان صدق میکند به نام های g1 , g2 که روی دایره اند تعداد افراد را از g1 تا قبل از g2 را حساب میکنیم فرض میکنیم بین g1,g2 دقیقا x دختر و y پسر وجود داشته باشد پس شمارش افراد از g1 تا قبل g2 میشود : $ x+1>y$ که 1 خود g1 است حالا از g2 تا قبل g1 را حساب میکنیم: $ n+1-x-1>n-y $یعنی تعداد دختر ها و پسر های بین ایندو را مقایسه میکنیم مثل بالا که با ساده کردن عبارت به این میرسیم: x>y و میدانیم این یعنی تعداد دختر های بین g1 تا قبل g2 حداقل یکی بیشتر از پسرها است و در نتیجه اختلاف عبارت اول یعنی x+1>y که اختلاف بین دختر ها و پسرها است حداقل 2 تا است ولی با توجه به اینکه یکی باید باشد(چون این نامساوی باید با نامساوی تعداد دختر ها و پسر ها از g2 تا قبل g1 باید جمع شود جایی نیست که تعداد پسر ها بیشتر از دختر ها شود پس این یعنی اختلاف دختر و پسر های کل حداقل 2 است)یعنی نامساوی بین g1 تا قبل g2
x+1-y>1 , دختر و پسر های از g2 تا قبل g1
n-y>0 که اگر باهم جمع کنیم میشود کل دختر ها -کل پسرها>1 که یک تناقض است پس فقط یک دختر با این ویژگی وجود دارد :) دیگه این جزو سوالاتی بود که جواب نداشت :)