یک روش دیگه ای هم که واسه حل این سول هست اینه که :اول ثابت میکنیم که هر عدد فرد مربع کامل به صورت $8 k+1$ است.چه جوری؟ میگیم فرض کنید $n=2k+1$ باشه.با تو جه به این که $k(k+1)$ همواره زوج هستش پس خواهیم داشت : $$n=2k+1 \rightarrow n^2 = (2k+1)^2 = 4k(k+1)+1 = 8t+1$$حالا میگیم اگر تعدا 1 هامونو n بگیریم اگر $n>=3$ باشه :$$111 ... 11\equiv 111\equiv 3\pmod 8$$اونوقت هیچ یک از اعداد $111 ... 11$ مربع کامل نیستند . در نتیجه تعداد مقسوم علیه های تمام اعداد به شکل $111 ... 11$ زوج میباشد.

میدانیم که هر عدد هست a^n1b^n2c^n2..... که a,b,c,.... اعداد اول هستند وتعداد مقسوم علیه های ان هست

(n1+1) (n2+1) (n3+1) ... پس وقتی این تعداد زوج میباشد که حداقل یک ni فرد باشد اکنون میتوانیم عامل اول های مختلفی رو در نظر بگیریم این عددی که شما گفتید بر 11 بخش پذیر میشود و میشود

1111111...1=1010101...101*11 که تعداد 1 ها برابر 48 تا میباشد این عدد بنابر بخش پذیری بر 11 بر 11 بخش پذیر نیست پس عدد

1111....1111 فقط 1 عامل 11 دارد پس تعداد مقسوم علیه هایش عددی زوج است

پ.ن:قانون بخش پذیری بر 11 را از اینجا بخوانید

میدانیم هر عدد به صورت : $p_1^a * p_2^b*...$ است که $p_i$ ها اعداد اول متمایز اند.

پس ...$(a+1)*(b+1)$ می شود تعداد مقسوم علیه های عدد.

پس اگر عدد از یک عامل به تعداد فردی داشته باشد مسئله حل است در اینجا واضح است که عدد مد نظر یک عامل 3 دارد چون بر3 بخشپذیر است ولی بر 9 نه