ابتدا ثابت می‌کنیم که جمع ارقام جمع ارقام جمع ارقام آن عدد یک رقمی است، سپس باقی مانده‌ی این عدد به ۹ برابر مجموع ارقام مجموع ارقام مجموع ارقام آن است.

$2^{1388} = 8^{462} * 4\overset{9}{\equiv} (-1)^{462} * 4 = 4$

بعد از ویرایش نوشت: (پاسخ به سوالات در نظرات)

۱) باقی‌مانده‌ی مجموع ارقام عددی به ۹ برابر باقی‌مانده‌ی عدد به 9 است، اثبات:

عدد مورد نظر را $n = a_ka_{k - 1} \cdots a_1a_0$ در نظر بگیرید. پس$ n = 10^ka_k+\cdots+ 10a_1 + a_0$

حال $n = 10^ka_k+\cdots+10a_1+a_0 \overset{9}{\equiv} 1^ka_k+\cdots+1a_1 + a_0 = a_k+\cdots+a_1+a_0$.

پس عدد $\overset{9}{\equiv} $ مجموع ارقام $\overset{9}{\equiv} $ مجموع ارقام مجموع ارقام $\overset{9}{\equiv} $ مجموع ارقام مجموع ارقام مجموع ارقام. اگر مجموع ارقام مجموع ارقام مجموع ارقام به اختصار: م.م.م یک رقمی باشد، با یافتن باقی‌مانده بر ۹، م.م.م را می‌یابیم.

برای این‌که بگیم یک‌رقمیه من راهی پیدا نکردم. ولی خب کدشو زدم و یک‌رقمی بود!

4 میشه کدشو زدم

با بخشپذیری بر 9 هم قابل اثباته، خود 0 ^ 2 باقیماندش بر 9 میشه 1 و به همین ترتیب:

1 --- 1

2 --- 2

4 --- 4

8 --- 8

16 -- 7

32 -- 5

64 -- 1

128 - 2

و این همینطوری تکرار میشه، یعنی چون هر باقیمانده برابر باقیمانده قبلی ضربدر 2 هستش (اگه از 9 بیشتر شد باقیماندش به 9)

و اینکه با همین حساب کتابا چون دورش 6 تا عنصر داره و باقیمانده 1388 بر 6 برابر 2 میشه پس باقیمانده 1288 ^ 2 میشه دومین عنصر که همون 4 هستش (1 صفرمین عنصره)

جمع ارقامش میشه ۱۹۳۰ که جمعش میشه ۱۳ که میشه ۴. مشابه سوال ۱۶ پراجکت اویلر هستش. کافیه با یه آرایه این مقدار بزرگ رو حساب کرد. هر رقم تو یک خانه. اینم کد راه حل. بخونید واضحه.